Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2716 / 5858
↖ ↑ ↗
← S 60.973107°
W 60.644531°		 ← 2 371.02 m → S 60.973107°
W 60.600586°		 →
↑
2 370.27 m
↓
↑
2 370.27 m
↓
S 60.994423°
W 60.644531°		 ← 2 369.43 m →
5 618 077 m²		 S 60.994423°
W 60.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33160400390625 y=0.71514892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33160400390625 × 213)
    floor (0.33160400390625 × 8192)
    floor (2716.5)     		tx = 2716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71514892578125 × 213)
    floor (0.71514892578125 × 8192)
    floor (5858.5)     		ty = 5858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2716 / 5858 ti = "13/2716/5858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2716/5858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2716 ÷ 213
    2716 ÷ 8192     		x = 0.33154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5858 ÷ 213
    5858 ÷ 8192     		y = 0.715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05844674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.43017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35143707408862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05844674} λ = -1.05844674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35143707408862))-π/2
    2×atan(0.258867980745557)-π/2
    2×0.253307426293474-π/2
    0.506614852586948-1.57079632675     		φ = -1.06418147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05844674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06418147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.973107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2716 KachelY 5858 -1.05844674 -1.06418147 -60.644531 -60.973107
    Oben rechts KachelX + 1 2717 KachelY 5858 -1.05767975 -1.06418147 -60.600586 -60.973107
    Unten links KachelX 2716 KachelY + 1 5859 -1.05844674 -1.06455351 -60.644531 -60.994423
    Unten rechts KachelX + 1 2717 KachelY + 1 5859 -1.05767975 -1.06455351 -60.600586 -60.994423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06418147--1.06455351) × R
    0.000372040000000018 × 6371000     		dl = 2370.26684000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06418147--1.06455351) × R
    0.000372040000000018 × 6371000     		dr = 2370.26684000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05844674--1.05767975) × cos(-1.06418147) × R
    0.000766990000000023 × 0.485220090329152 × 6371000     		do = 2371.02471556666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05844674--1.05767975) × cos(-1.06455351) × R
    0.000766990000000023 × 0.484894747936351 × 6371000     		du = 2369.43493214729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06418147)-sin(-1.06455351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485220090329152-0.484894747936351)×R²
    abs(-1.05767975--1.05844674)×0.000325342392800743×R²
    0.000766990000000023×0.000325342392800743×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325342392800743×40589641000000     		ar = 5618077.21946902m²