Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27159 / 6456
↖ ↑ ↗
← N 80.823902°
W 30.811157°		 ← 97.40 m → N 80.823902°
W 30.805664°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 80.823026°
W 30.811157°		 ← 97.41 m →
9 489 m²		 N 80.823026°
W 30.805664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414421081542969 y=0.0985183715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414421081542969 × 216)
    floor (0.414421081542969 × 65536)
    floor (27159.5)     		tx = 27159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985183715820312 × 216)
    floor (0.0985183715820312 × 65536)
    floor (6456.5)     		ty = 6456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27159 / 6456 ti = "16/27159/6456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27159/6456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27159 ÷ 216
    27159 ÷ 65536     		x = 0.414413452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6456 ÷ 216
    6456 ÷ 65536     		y = 0.0985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414413452148438 × 2 - 1) × π
    -0.171173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53775614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0985107421875 × 2 - 1) × π
    0.802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52263140560584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53775614} λ = -0.53775614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52263140560584))-π/2
    2×atan(12.4613444099161)-π/2
    2×1.49071976088815-π/2
    2.9814395217763-1.57079632675     		φ = 1.41064320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53775614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.811157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41064320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.823902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27159 KachelY 6456 -0.53775614 1.41064320 -30.811157 80.823902
    Oben rechts KachelX + 1 27160 KachelY 6456 -0.53766027 1.41064320 -30.805664 80.823902
    Unten links KachelX 27159 KachelY + 1 6457 -0.53775614 1.41062791 -30.811157 80.823026
    Unten rechts KachelX + 1 27160 KachelY + 1 6457 -0.53766027 1.41062791 -30.805664 80.823026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41064320-1.41062791) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41064320-1.41062791) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53775614--0.53766027) × cos(1.41064320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159469375695561 × 6371000     		do = 97.4019443643818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53775614--0.53766027) × cos(1.41062791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159484470008892 × 6371000     		du = 97.4111637863612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41064320)-sin(1.41062791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159469375695561-0.159484470008892)×R²
    abs(-0.53766027--0.53775614)×1.50943133313541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50943133313541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50943133313541e-05×40589641000000     		ar = 9488.62471548433m²