Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27156 / 44564
↖ ↑ ↗
← S 54.226708°
W 30.827637°		 ← 357.05 m → S 54.226708°
W 30.822144°		 →
↑
357.09 m
↓
↑
357.09 m
↓
S 54.229919°
W 30.827637°		 ← 357.03 m →
127 497 m²		 S 54.229919°
W 30.822144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414375305175781 y=0.680000305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414375305175781 × 216)
    floor (0.414375305175781 × 65536)
    floor (27156.5)     		tx = 27156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680000305175781 × 216)
    floor (0.680000305175781 × 65536)
    floor (44564.5)     		ty = 44564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27156 / 44564 ti = "16/27156/44564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27156/44564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27156 ÷ 216
    27156 ÷ 65536     		x = 0.41436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44564 ÷ 216
    44564 ÷ 65536     		y = 0.67999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53804376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.3599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.13092733583636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53804376} λ = -0.53804376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13092733583636))-π/2
    2×atan(0.322733834960818)-π/2
    2×0.312180866904236-π/2
    0.624361733808472-1.57079632675     		φ = -0.94643459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53804376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.827637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94643459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.226708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27156 KachelY 44564 -0.53804376 -0.94643459 -30.827637 -54.226708
    Oben rechts KachelX + 1 27157 KachelY 44564 -0.53794789 -0.94643459 -30.822144 -54.226708
    Unten links KachelX 27156 KachelY + 1 44565 -0.53804376 -0.94649064 -30.827637 -54.229919
    Unten rechts KachelX + 1 27157 KachelY + 1 44565 -0.53794789 -0.94649064 -30.822144 -54.229919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94643459--0.94649064) × R
    5.60500000000852e-05 × 6371000     		dl = 357.094550000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94643459--0.94649064) × R
    5.60500000000852e-05 × 6371000     		dr = 357.094550000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53804376--0.53794789) × cos(-0.94643459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584579545877294 × 6371000     		do = 357.054037213997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53804376--0.53794789) × cos(-0.94649064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58453406955382 × 6371000     		du = 357.026260831795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94643459)-sin(-0.94649064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584579545877294-0.58453406955382)×R²
    abs(-0.53794789--0.53804376)×4.54763234745137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54763234745137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54763234745137e-05×40589641000000     		ar = 127497.091380762m²