Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27152 / 6462
↖ ↑ ↗
← N 80.818644°
W 30.849610°		 ← 97.47 m → N 80.818644°
W 30.844116°		 →
↑
97.48 m
↓
↑
97.48 m
↓
N 80.817768°
W 30.849610°		 ← 97.48 m →
9 501 m²		 N 80.817768°
W 30.844116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414314270019531 y=0.0986099243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414314270019531 × 216)
    floor (0.414314270019531 × 65536)
    floor (27152.5)     		tx = 27152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0986099243164062 × 216)
    floor (0.0986099243164062 × 65536)
    floor (6462.5)     		ty = 6462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27152 / 6462 ti = "16/27152/6462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27152/6462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27152 ÷ 216
    27152 ÷ 65536     		x = 0.414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6462 ÷ 216
    6462 ÷ 65536     		y = 0.098602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.17138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53842726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098602294921875 × 2 - 1) × π
    0.80279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52205616281039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53842726} λ = -0.53842726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52205616281039))-π/2
    2×atan(12.4541781726836)-π/2
    2×1.49067388105614-π/2
    2.98134776211228-1.57079632675     		φ = 1.41055144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53842726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.849610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41055144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.818644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27152 KachelY 6462 -0.53842726 1.41055144 -30.849610 80.818644
    Oben rechts KachelX + 1 27153 KachelY 6462 -0.53833138 1.41055144 -30.844116 80.818644
    Unten links KachelX 27152 KachelY + 1 6463 -0.53842726 1.41053614 -30.849610 80.817768
    Unten rechts KachelX + 1 27153 KachelY + 1 6463 -0.53833138 1.41053614 -30.844116 80.817768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41055144-1.41053614) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dl = 97.4763000003274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41055144-1.41053614) × R
    1.53000000000514e-05 × 6371000     		dr = 97.4763000003274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53842726--0.53833138) × cos(1.41055144) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15955996075997 × 6371000     		do = 97.4674381789056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53842726--0.53833138) × cos(1.41053614) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159575064721348 × 6371000     		du = 97.4766644560673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41055144)-sin(1.41053614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15955996075997-0.159575064721348)×R²
    abs(-0.53833138--0.53842726)×1.51039613781601e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51039613781601e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51039613781601e-05×40589641000000     		ar = 9501.21491621477m²