Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27151 / 25015
↖ ↑ ↗
← S 68.362750°
E118.289795°		 ← 450.45 m → S 68.362750°
E118.300781°		 →
↑
450.43 m
↓
↑
450.43 m
↓
S 68.366801°
E118.289795°		 ← 450.37 m →
202 880 m²		 S 68.366801°
E118.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828598022460938 y=0.763412475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828598022460938 × 215)
    floor (0.828598022460938 × 32768)
    floor (27151.5)     		tx = 27151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763412475585938 × 215)
    floor (0.763412475585938 × 32768)
    floor (25015.5)     		ty = 25015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27151 / 25015 ti = "15/27151/25015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27151/25015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27151 ÷ 215
    27151 ÷ 32768     		x = 0.828582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25015 ÷ 215
    25015 ÷ 32768     		y = 0.763397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828582763671875 × 2 - 1) × π
    0.65716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06454639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.52679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65497352248282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06454639} λ = 2.06454639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65497352248282))-π/2
    2×atan(0.191097115415637)-π/2
    2×0.188820622628522-π/2
    0.377641245257045-1.57079632675     		φ = -1.19315508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06454639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19315508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.362750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27151 KachelY 25015 2.06454639 -1.19315508 118.289795 -68.362750
    Oben rechts KachelX + 1 27152 KachelY 25015 2.06473814 -1.19315508 118.300781 -68.362750
    Unten links KachelX 27151 KachelY + 1 25016 2.06454639 -1.19322578 118.289795 -68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 27152 KachelY + 1 25016 2.06473814 -1.19322578 118.300781 -68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19315508--1.19322578) × R
    7.06999999999791e-05 × 6371000     		dl = 450.429699999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19315508--1.19322578) × R
    7.06999999999791e-05 × 6371000     		dr = 450.429699999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06454639-2.06473814) × cos(-1.19315508) × R
    0.000191750000000379 × 0.368728948910838 × 6371000     		do = 450.453756601615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06454639-2.06473814) × cos(-1.19322578) × R
    0.000191750000000379 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 450.373471466174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19315508)-sin(-1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368728948910838-0.368663229726192)×R²
    abs(2.06473814-2.06454639)×6.57191846459848e-05×R²
    0.000191750000000379×6.57191846459848e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.57191846459848e-05×40589641000000     		ar = 202879.669129754m²