Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27151 / 10602
↖ ↑ ↗
← N 53.474970°
E118.289795°		 ← 727.09 m → N 53.474970°
E118.300781°		 →
↑
727.12 m
↓
↑
727.12 m
↓
N 53.468431°
E118.289795°		 ← 727.20 m →
528 722 m²		 N 53.468431°
E118.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828598022460938 y=0.323562622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828598022460938 × 215)
    floor (0.828598022460938 × 32768)
    floor (27151.5)     		tx = 27151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323562622070312 × 215)
    floor (0.323562622070312 × 32768)
    floor (10602.5)     		ty = 10602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27151 / 10602 ti = "15/27151/10602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27151/10602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27151 ÷ 215
    27151 ÷ 32768     		x = 0.828582763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10602 ÷ 215
    10602 ÷ 32768     		y = 0.32354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828582763671875 × 2 - 1) × π
    0.65716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06454639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32354736328125 × 2 - 1) × π
    0.3529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10868461441266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06454639} λ = 2.06454639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10868461441266))-π/2
    2×atan(3.03036966706917)-π/2
    2×1.25205531033667-π/2
    2.50411062067335-1.57079632675     		φ = 0.93331429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06454639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93331429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.474970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27151 KachelY 10602 2.06454639 0.93331429 118.289795 53.474970
    Oben rechts KachelX + 1 27152 KachelY 10602 2.06473814 0.93331429 118.300781 53.474970
    Unten links KachelX 27151 KachelY + 1 10603 2.06454639 0.93320016 118.289795 53.468431
    Unten rechts KachelX + 1 27152 KachelY + 1 10603 2.06473814 0.93320016 118.300781 53.468431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93331429-0.93320016) × R
    0.000114130000000046 × 6371000     		dl = 727.12223000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93331429-0.93320016) × R
    0.000114130000000046 × 6371000     		dr = 727.12223000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06454639-2.06473814) × cos(0.93331429) × R
    0.000191750000000379 × 0.595173902741245 × 6371000     		do = 727.087800165825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06454639-2.06473814) × cos(0.93320016) × R
    0.000191750000000379 × 0.595265613382372 × 6371000     		du = 727.199837484669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93331429)-sin(0.93320016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595173902741245-0.595265613382372)×R²
    abs(2.06473814-2.06454639)×9.17106411272295e-05×R²
    0.000191750000000379×9.17106411272295e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.17106411272295e-05×40589641000000     		ar = 528722.435649377m²