Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27147 / 43526
↖ ↑ ↗
← S 50.757310°
W 30.877075°		 ← 386.43 m → S 50.757310°
W 30.871582°		 →
↑
386.34 m
↓
↑
386.34 m
↓
S 50.760784°
W 30.877075°		 ← 386.40 m →
149 286 m²		 S 50.760784°
W 30.871582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414237976074219 y=0.664161682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414237976074219 × 216)
    floor (0.414237976074219 × 65536)
    floor (27147.5)     		tx = 27147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664161682128906 × 216)
    floor (0.664161682128906 × 65536)
    floor (43526.5)     		ty = 43526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27147 / 43526 ti = "16/27147/43526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27147/43526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27147 ÷ 216
    27147 ÷ 65536     		x = 0.414230346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43526 ÷ 216
    43526 ÷ 65536     		y = 0.664154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414230346679688 × 2 - 1) × π
    -0.171539306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53890663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.32830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03141033222513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53890663} λ = -0.53890663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03141033222513))-π/2
    2×atan(0.356503817031232)-π/2
    2×0.342457075235482-π/2
    0.684914150470964-1.57079632675     		φ = -0.88588218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53890663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.877075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88588218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.757310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27147 KachelY 43526 -0.53890663 -0.88588218 -30.877075 -50.757310
    Oben rechts KachelX + 1 27148 KachelY 43526 -0.53881075 -0.88588218 -30.871582 -50.757310
    Unten links KachelX 27147 KachelY + 1 43527 -0.53890663 -0.88594282 -30.877075 -50.760784
    Unten rechts KachelX + 1 27148 KachelY + 1 43527 -0.53881075 -0.88594282 -30.871582 -50.760784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88588218--0.88594282) × R
    6.06400000000562e-05 × 6371000     		dl = 386.337440000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88588218--0.88594282) × R
    6.06400000000562e-05 × 6371000     		dr = 386.337440000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53890663--0.53881075) × cos(-0.88588218) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.632606522827538 × 6371000     		do = 386.428630727049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53890663--0.53881075) × cos(-0.88594282) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.632559557599827 × 6371000     		du = 386.399941948194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88588218)-sin(-0.88594282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632606522827538-0.632559557599827)×R²
    abs(-0.53881075--0.53890663)×4.6965227710527e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6965227710527e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6965227710527e-05×40589641000000     		ar = 149286.306208891m²