Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27146 / 44550
↖ ↑ ↗
← S 54.181726°
W 30.882568°		 ← 357.44 m → S 54.181726°
W 30.877075°		 →
↑
357.48 m
↓
↑
357.48 m
↓
S 54.184941°
W 30.882568°		 ← 357.42 m →
127 773 m²		 S 54.184941°
W 30.877075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414222717285156 y=0.679786682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414222717285156 × 216)
    floor (0.414222717285156 × 65536)
    floor (27146.5)     		tx = 27146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679786682128906 × 216)
    floor (0.679786682128906 × 65536)
    floor (44550.5)     		ty = 44550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27146 / 44550 ti = "16/27146/44550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27146/44550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27146 ÷ 216
    27146 ÷ 65536     		x = 0.414215087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44550 ÷ 216
    44550 ÷ 65536     		y = 0.679779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414215087890625 × 2 - 1) × π
    -0.17156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53900250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.35955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.129585102647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53900250} λ = -0.53900250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.129585102647))-π/2
    2×atan(0.32316730987256)-π/2
    2×0.312573401593334-π/2
    0.625146803186669-1.57079632675     		φ = -0.94564952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53900250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.882568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94564952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.181726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27146 KachelY 44550 -0.53900250 -0.94564952 -30.882568 -54.181726
    Oben rechts KachelX + 1 27147 KachelY 44550 -0.53890663 -0.94564952 -30.877075 -54.181726
    Unten links KachelX 27146 KachelY + 1 44551 -0.53900250 -0.94570563 -30.882568 -54.184941
    Unten rechts KachelX + 1 27147 KachelY + 1 44551 -0.53890663 -0.94570563 -30.877075 -54.184941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94564952--0.94570563) × R
    5.61099999999426e-05 × 6371000     		dl = 357.476809999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94564952--0.94570563) × R
    5.61099999999426e-05 × 6371000     		dr = 357.476809999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53900250--0.53890663) × cos(-0.94564952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585216321531311 × 6371000     		do = 357.442971995705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53900250--0.53890663) × cos(-0.94570563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585170822289601 × 6371000     		du = 357.415181615324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94564952)-sin(-0.94570563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585216321531311-0.585170822289601)×R²
    abs(-0.53890663--0.53900250)×4.54992417099342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54992417099342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54992417099342e-05×40589641000000     		ar = 127772.606211021m²