Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27145 / 43529
↖ ↑ ↗
← S 50.767734°
W 30.888061°		 ← 386.30 m → S 50.767734°
W 30.882568°		 →
↑
386.27 m
↓
↑
386.27 m
↓
S 50.771208°
W 30.888061°		 ← 386.27 m →
149 213 m²		 S 50.771208°
W 30.882568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414207458496094 y=0.664207458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414207458496094 × 216)
    floor (0.414207458496094 × 65536)
    floor (27145.5)     		tx = 27145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664207458496094 × 216)
    floor (0.664207458496094 × 65536)
    floor (43529.5)     		ty = 43529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27145 / 43529 ti = "16/27145/43529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27145/43529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27145 ÷ 216
    27145 ÷ 65536     		x = 0.414199829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43529 ÷ 216
    43529 ÷ 65536     		y = 0.664199829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414199829101562 × 2 - 1) × π
    -0.171600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53909837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664199829101562 × 2 - 1) × π
    -0.328399658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03169795362285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53909837} λ = -0.53909837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03169795362285))-π/2
    2×atan(0.356401293649751)-π/2
    2×0.342366109781309-π/2
    0.684732219562618-1.57079632675     		φ = -0.88606411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53909837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.888061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88606411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.767734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27145 KachelY 43529 -0.53909837 -0.88606411 -30.888061 -50.767734
    Oben rechts KachelX + 1 27146 KachelY 43529 -0.53900250 -0.88606411 -30.882568 -50.767734
    Unten links KachelX 27145 KachelY + 1 43530 -0.53909837 -0.88612474 -30.888061 -50.771208
    Unten rechts KachelX + 1 27146 KachelY + 1 43530 -0.53900250 -0.88612474 -30.882568 -50.771208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88606411--0.88612474) × R
    6.0630000000006e-05 × 6371000     		dl = 386.273730000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88606411--0.88612474) × R
    6.0630000000006e-05 × 6371000     		dr = 386.273730000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53909837--0.53900250) × cos(-0.88606411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632465612420532 × 6371000     		do = 386.302261012013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53909837--0.53900250) × cos(-0.88612474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632418647961062 × 6371000     		du = 386.273575694544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88606411)-sin(-0.88612474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632465612420532-0.632418647961062)×R²
    abs(-0.53900250--0.53909837)×4.69644594701668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69644594701668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69644594701668e-05×40589641000000     		ar = 149212.875121608m²