Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27145 / 24942
↖ ↑ ↗
← S 68.065098°
E118.223877°		 ← 456.32 m → S 68.065098°
E118.234863°		 →
↑
456.29 m
↓
↑
456.29 m
↓
S 68.069202°
E118.223877°		 ← 456.24 m →
208 198 m²		 S 68.069202°
E118.234863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828414916992188 y=0.761184692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828414916992188 × 215)
    floor (0.828414916992188 × 32768)
    floor (27145.5)     		tx = 27145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761184692382812 × 215)
    floor (0.761184692382812 × 32768)
    floor (24942.5)     		ty = 24942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27145 / 24942 ti = "15/27145/24942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27145/24942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27145 ÷ 215
    27145 ÷ 32768     		x = 0.828399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24942 ÷ 215
    24942 ÷ 32768     		y = 0.76116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828399658203125 × 2 - 1) × π
    0.65679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06339591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.5223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64097594779376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06339591} λ = 2.06339591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64097594779376))-π/2
    2×atan(0.193790820247021)-π/2
    2×0.191418128319607-π/2
    0.382836256639214-1.57079632675     		φ = -1.18796007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06339591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.223877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18796007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.065098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27145 KachelY 24942 2.06339591 -1.18796007 118.223877 -68.065098
    Oben rechts KachelX + 1 27146 KachelY 24942 2.06358765 -1.18796007 118.234863 -68.065098
    Unten links KachelX 27145 KachelY + 1 24943 2.06339591 -1.18803169 118.223877 -68.069202
    Unten rechts KachelX + 1 27146 KachelY + 1 24943 2.06358765 -1.18803169 118.234863 -68.069202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18796007--1.18803169) × R
    7.1620000000161e-05 × 6371000     		dl = 456.291020001026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18796007--1.18803169) × R
    7.1620000000161e-05 × 6371000     		dr = 456.291020001026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06339591-2.06358765) × cos(-1.18796007) × R
    0.000191739999999996 × 0.373552905357917 × 6371000     		do = 456.323092081156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06339591-2.06358765) × cos(-1.18803169) × R
    0.000191739999999996 × 0.373486469052216 × 6371000     		du = 456.241935115145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18796007)-sin(-1.18803169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373552905357917-0.373486469052216)×R²
    abs(2.06358765-2.06339591)×6.643630570069e-05×R²
    0.000191739999999996×6.643630570069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.643630570069e-05×40589641000000     		ar = 208197.613626996m²