Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27141 / 10609
↖ ↑ ↗
← N 53.429174°
E118.179932°		 ← 727.83 m → N 53.429174°
E118.190918°		 →
↑
727.89 m
↓
↑
727.89 m
↓
N 53.422628°
E118.179932°		 ← 727.95 m →
529 822 m²		 N 53.422628°
E118.190918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828292846679688 y=0.323776245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828292846679688 × 215)
    floor (0.828292846679688 × 32768)
    floor (27141.5)     		tx = 27141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323776245117188 × 215)
    floor (0.323776245117188 × 32768)
    floor (10609.5)     		ty = 10609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27141 / 10609 ti = "15/27141/10609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27141/10609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27141 ÷ 215
    27141 ÷ 32768     		x = 0.828277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10609 ÷ 215
    10609 ÷ 32768     		y = 0.323760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828277587890625 × 2 - 1) × π
    0.65655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06262892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323760986328125 × 2 - 1) × π
    0.35247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1073423812233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06262892} λ = 2.06262892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1073423812233))-π/2
    2×atan(3.02630493284684)-π/2
    2×1.25165566380491-π/2
    2.50331132760983-1.57079632675     		φ = 0.93251500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06262892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.179932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93251500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.429174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27141 KachelY 10609 2.06262892 0.93251500 118.179932 53.429174
    Oben rechts KachelX + 1 27142 KachelY 10609 2.06282066 0.93251500 118.190918 53.429174
    Unten links KachelX 27141 KachelY + 1 10610 2.06262892 0.93240075 118.179932 53.422628
    Unten rechts KachelX + 1 27142 KachelY + 1 10610 2.06282066 0.93240075 118.190918 53.422628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93251500-0.93240075) × R
    0.000114249999999982 × 6371000     		dl = 727.886749999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93251500-0.93240075) × R
    0.000114249999999982 × 6371000     		dr = 727.886749999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06262892-2.06282066) × cos(0.93251500) × R
    0.000191739999999996 × 0.5958160195451 × 6371000     		do = 727.83427581644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06262892-2.06282066) × cos(0.93240075) × R
    0.000191739999999996 × 0.595907772225575 × 6371000     		du = 727.946358646637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93251500)-sin(0.93240075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5958160195451-0.595907772225575)×R²
    abs(2.06282066-2.06262892)×9.17526804745661e-05×R²
    0.000191739999999996×9.17526804745661e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.17526804745661e-05×40589641000000     		ar = 529821.717942894m²