Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27138 / 10566
↖ ↑ ↗
← N 53.709713°
E118.146972°		 ← 723.06 m → N 53.709713°
E118.157959°		 →
↑
723.11 m
↓
↑
723.11 m
↓
N 53.703210°
E118.146972°		 ← 723.17 m →
522 891 m²		 N 53.703210°
E118.157959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828201293945312 y=0.322463989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828201293945312 × 215)
    floor (0.828201293945312 × 32768)
    floor (27138.5)     		tx = 27138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322463989257812 × 215)
    floor (0.322463989257812 × 32768)
    floor (10566.5)     		ty = 10566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27138 / 10566 ti = "15/27138/10566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27138/10566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27138 ÷ 215
    27138 ÷ 32768     		x = 0.82818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10566 ÷ 215
    10566 ÷ 32768     		y = 0.32244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82818603515625 × 2 - 1) × π
    0.6563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06205367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32244873046875 × 2 - 1) × π
    0.3551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11558752795795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06205367} λ = 2.06205367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11558752795795))-π/2
    2×atan(3.05136041218956)-π/2
    2×1.25410383456959-π/2
    2.50820766913918-1.57079632675     		φ = 0.93741134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06205367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.146972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93741134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.709713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27138 KachelY 10566 2.06205367 0.93741134 118.146972 53.709713
    Oben rechts KachelX + 1 27139 KachelY 10566 2.06224542 0.93741134 118.157959 53.709713
    Unten links KachelX 27138 KachelY + 1 10567 2.06205367 0.93729784 118.146972 53.703210
    Unten rechts KachelX + 1 27139 KachelY + 1 10567 2.06224542 0.93729784 118.157959 53.703210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93741134-0.93729784) × R
    0.000113499999999989 × 6371000     		dl = 723.108499999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93741134-0.93729784) × R
    0.000113499999999989 × 6371000     		dr = 723.108499999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06205367-2.06224542) × cos(0.93741134) × R
    0.000191749999999935 × 0.591876539917472 × 6371000     		do = 723.059612317131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06205367-2.06224542) × cos(0.93729784) × R
    0.000191749999999935 × 0.591968020355072 × 6371000     		du = 723.171368410309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93741134)-sin(0.93729784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591876539917472-0.591968020355072)×R²
    abs(2.06224542-2.06205367)×9.14804375996559e-05×R²
    0.000191749999999935×9.14804375996559e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.14804375996559e-05×40589641000000     		ar = 522890.958124765m²