Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27135 / 8705
↖ ↑ ↗
← N 82.494465°
W105.471496°		 ← 39.89 m → N 82.494465°
W105.468750°		 →
↑
39.95 m
↓
↑
39.95 m
↓
N 82.494106°
W105.471496°		 ← 39.89 m →
1 593 m²		 N 82.494106°
W105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207027435302734 y=0.0664176940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207027435302734 × 217)
    floor (0.207027435302734 × 131072)
    floor (27135.5)     		tx = 27135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0664176940917969 × 217)
    floor (0.0664176940917969 × 131072)
    floor (8705.5)     		ty = 8705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27135 / 8705 ti = "17/27135/8705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27135/8705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27135 ÷ 217
    27135 ÷ 131072     		x = 0.207023620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8705 ÷ 217
    8705 ÷ 131072     		y = 0.0664138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.207023620605469 × 2 - 1) × π
    -0.585952758789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.84082488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0664138793945312 × 2 - 1) × π
    0.867172241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.72430194230741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84082488} λ = -1.84082488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72430194230741))-π/2
    2×atan(15.2457677859988)-π/2
    2×1.50529817659949-π/2
    3.01059635319897-1.57079632675     		φ = 1.43980003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84082488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.471496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27135 KachelY 8705 -1.84082488 1.43980003 -105.471496 82.494465
    Oben rechts KachelX + 1 27136 KachelY 8705 -1.84077695 1.43980003 -105.468750 82.494465
    Unten links KachelX 27135 KachelY + 1 8706 -1.84082488 1.43979376 -105.471496 82.494106
    Unten rechts KachelX + 1 27136 KachelY + 1 8706 -1.84077695 1.43979376 -105.468750 82.494106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980003-1.43979376) × R
    6.27000000008593e-06 × 6371000     		dl = 39.9461700005475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980003-1.43979376) × R
    6.27000000008593e-06 × 6371000     		dr = 39.9461700005475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84082488--1.84077695) × cos(1.43980003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.13062196805502 × 6371000     		do = 39.8869893279006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84082488--1.84077695) × cos(1.43979376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.130628184332645 × 6371000     		du = 39.8888875430551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980003)-sin(1.43979376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13062196805502-0.130628184332645)×R²
    abs(-1.84077695--1.84082488)×6.2162776245378e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.2162776245378e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.2162776245378e-06×40589641000000     		ar = 1593.37036976307m²