Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27133 / 6362
↖ ↑ ↗
← N 80.905879°
W 30.953980°		 ← 96.55 m → N 80.905879°
W 30.948486°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.905011°
W 30.953980°		 ← 96.56 m →
9 319 m²		 N 80.905011°
W 30.948486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414024353027344 y=0.0970840454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414024353027344 × 216)
    floor (0.414024353027344 × 65536)
    floor (27133.5)     		tx = 27133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970840454101562 × 216)
    floor (0.0970840454101562 × 65536)
    floor (6362.5)     		ty = 6362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27133 / 6362 ti = "16/27133/6362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27133/6362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27133 ÷ 216
    27133 ÷ 65536     		x = 0.414016723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6362 ÷ 216
    6362 ÷ 65536     		y = 0.097076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414016723632812 × 2 - 1) × π
    -0.171966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54024886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097076416015625 × 2 - 1) × π
    0.80584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53164354273441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54024886} λ = -0.54024886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53164354273441))-π/2
    2×atan(12.5741553247338)-π/2
    2×1.49143515353136-π/2
    2.98287030706273-1.57079632675     		φ = 1.41207398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54024886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.953980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41207398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.905879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27133 KachelY 6362 -0.54024886 1.41207398 -30.953980 80.905879
    Oben rechts KachelX + 1 27134 KachelY 6362 -0.54015298 1.41207398 -30.948486 80.905879
    Unten links KachelX 27133 KachelY + 1 6363 -0.54024886 1.41205883 -30.953980 80.905011
    Unten rechts KachelX + 1 27134 KachelY + 1 6363 -0.54015298 1.41205883 -30.948486 80.905011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41207398-1.41205883) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dl = 96.5206499990621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41207398-1.41205883) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dr = 96.5206499990621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54024886--0.54015298) × cos(1.41207398) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158056742819322 × 6371000     		do = 96.5491952752106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54024886--0.54015298) × cos(1.41205883) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158071702366151 × 6371000     		du = 96.5583333365315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41207398)-sin(1.41205883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158056742819322-0.158071702366151)×R²
    abs(-0.54015298--0.54024886)×1.49595468295904e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.49595468295904e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.49595468295904e-05×40589641000000     		ar = 9319.43209106556m²