Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27133 / 44556
↖ ↑ ↗
← S 54.201010°
W 30.953980°		 ← 357.31 m → S 54.201010°
W 30.948486°		 →
↑
357.29 m
↓
↑
357.29 m
↓
S 54.204224°
W 30.953980°		 ← 357.29 m →
127 658 m²		 S 54.204224°
W 30.948486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414024353027344 y=0.679878234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414024353027344 × 216)
    floor (0.414024353027344 × 65536)
    floor (27133.5)     		tx = 27133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679878234863281 × 216)
    floor (0.679878234863281 × 65536)
    floor (44556.5)     		ty = 44556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27133 / 44556 ti = "16/27133/44556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27133/44556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27133 ÷ 216
    27133 ÷ 65536     		x = 0.414016723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44556 ÷ 216
    44556 ÷ 65536     		y = 0.67987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414016723632812 × 2 - 1) × π
    -0.171966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54024886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.3597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13016034544244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54024886} λ = -0.54024886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13016034544244))-π/2
    2×atan(0.322981463664305)-π/2
    2×0.312405120111594-π/2
    0.624810240223187-1.57079632675     		φ = -0.94598609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54024886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.953980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94598609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.201010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27133 KachelY 44556 -0.54024886 -0.94598609 -30.953980 -54.201010
    Oben rechts KachelX + 1 27134 KachelY 44556 -0.54015298 -0.94598609 -30.948486 -54.201010
    Unten links KachelX 27133 KachelY + 1 44557 -0.54024886 -0.94604217 -30.953980 -54.204224
    Unten rechts KachelX + 1 27134 KachelY + 1 44557 -0.54015298 -0.94604217 -30.948486 -54.204224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94598609--0.94604217) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dl = 357.285680000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94598609--0.94604217) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dr = 357.285680000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54024886--0.54015298) × cos(-0.94598609) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.58494337144591 × 6371000     		do = 357.313524164103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54024886--0.54015298) × cos(-0.94604217) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.584897885488638 × 6371000     		du = 357.285738999785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94598609)-sin(-0.94604217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58494337144591-0.584897885488638)×R²
    abs(-0.54015298--0.54024886)×4.54859572714961e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.54859572714961e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.54859572714961e-05×40589641000000     		ar = 127658.041867017m²