Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27132 / 25044
↖ ↑ ↗
← S 68.479925°
E118.081055°		 ← 448.13 m → S 68.479925°
E118.092041°		 →
↑
448.14 m
↓
↑
448.14 m
↓
S 68.483956°
E118.081055°		 ← 448.05 m →
200 806 m²		 S 68.483956°
E118.092041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828018188476562 y=0.764297485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828018188476562 × 215)
    floor (0.828018188476562 × 32768)
    floor (27132.5)     		tx = 27132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764297485351562 × 215)
    floor (0.764297485351562 × 32768)
    floor (25044.5)     		ty = 25044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27132 / 25044 ti = "15/27132/25044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27132/25044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27132 ÷ 215
    27132 ÷ 32768     		x = 0.8280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25044 ÷ 215
    25044 ÷ 32768     		y = 0.7642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8280029296875 × 2 - 1) × π
    0.656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06090319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66053420283875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06090319} λ = 2.06090319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66053420283875))-π/2
    2×atan(0.190037434443998)-π/2
    2×0.187798076411293-π/2
    0.375596152822586-1.57079632675     		φ = -1.19520017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06090319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.081055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19520017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.479925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27132 KachelY 25044 2.06090319 -1.19520017 118.081055 -68.479925
    Oben rechts KachelX + 1 27133 KachelY 25044 2.06109494 -1.19520017 118.092041 -68.479925
    Unten links KachelX 27132 KachelY + 1 25045 2.06090319 -1.19527051 118.081055 -68.483956
    Unten rechts KachelX + 1 27133 KachelY + 1 25045 2.06109494 -1.19527051 118.092041 -68.483956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19520017--1.19527051) × R
    7.03400000001686e-05 × 6371000     		dl = 448.136140001074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19520017--1.19527051) × R
    7.03400000001686e-05 × 6371000     		dr = 448.136140001074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06090319-2.06109494) × cos(-1.19520017) × R
    0.000191749999999935 × 0.366827192407533 × 6371000     		do = 448.130496212193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06090319-2.06109494) × cos(-1.19527051) × R
    0.000191749999999935 × 0.366761754964764 × 6371000     		du = 448.050555263687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19520017)-sin(-1.19527051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366827192407533-0.366761754964764)×R²
    abs(2.06109494-2.06090319)×6.54374427688231e-05×R²
    0.000191749999999935×6.54374427688231e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.54374427688231e-05×40589641000000     		ar = 200805.558658208m²