Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27130 / 6359
↖ ↑ ↗
← N 80.908484°
W 30.970459°		 ← 96.51 m → N 80.908484°
W 30.964966°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.907615°
W 30.970459°		 ← 96.52 m →
9 316 m²		 N 80.907615°
W 30.964966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413978576660156 y=0.0970382690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413978576660156 × 216)
    floor (0.413978576660156 × 65536)
    floor (27130.5)     		tx = 27130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970382690429688 × 216)
    floor (0.0970382690429688 × 65536)
    floor (6359.5)     		ty = 6359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27130 / 6359 ti = "16/27130/6359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27130/6359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27130 ÷ 216
    27130 ÷ 65536     		x = 0.413970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6359 ÷ 216
    6359 ÷ 65536     		y = 0.0970306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413970947265625 × 2 - 1) × π
    -0.17205810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54053648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970306396484375 × 2 - 1) × π
    0.805938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53193116413213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54053648} λ = -0.54053648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53193116413213))-π/2
    2×atan(12.5777724410185)-π/2
    2×1.4914578805545-π/2
    2.98291576110901-1.57079632675     		φ = 1.41211943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54053648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.970459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41211943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.908484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27130 KachelY 6359 -0.54053648 1.41211943 -30.970459 80.908484
    Oben rechts KachelX + 1 27131 KachelY 6359 -0.54044061 1.41211943 -30.964966 80.908484
    Unten links KachelX 27130 KachelY + 1 6360 -0.54053648 1.41210428 -30.970459 80.907615
    Unten rechts KachelX + 1 27131 KachelY + 1 6360 -0.54044061 1.41210428 -30.964966 80.907615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41211943-1.41210428) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dl = 96.5206499990621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41211943-1.41210428) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dr = 96.5206499990621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54053648--0.54044061) × cos(1.41211943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		do = 96.5117140223909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54053648--0.54044061) × cos(1.41210428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158026823616833 × 6371000     		du = 96.5208511971066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41211943)-sin(1.41210428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158011863961181-0.158026823616833)×R²
    abs(-0.54044061--0.54053648)×1.49596556520415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49596556520415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49596556520415e-05×40589641000000     		ar = 9315.81433328976m²