Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27130 / 25427
↖ ↑ ↗
← S 69.971730°
E118.059082°		 ← 418.39 m → S 69.971730°
E118.070068°		 →
↑
418.32 m
↓
↑
418.32 m
↓
S 69.975493°
E118.059082°		 ← 418.32 m →
175 006 m²		 S 69.975493°
E118.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827957153320312 y=0.775985717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827957153320312 × 215)
    floor (0.827957153320312 × 32768)
    floor (27130.5)     		tx = 27130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775985717773438 × 215)
    floor (0.775985717773438 × 32768)
    floor (25427.5)     		ty = 25427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27130 / 25427 ti = "15/27130/25427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27130/25427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27130 ÷ 215
    27130 ÷ 32768     		x = 0.82794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25427 ÷ 215
    25427 ÷ 32768     		y = 0.775970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82794189453125 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06051969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.55194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73397353305667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06051969} λ = 2.06051969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73397353305667))-π/2
    2×atan(0.176581362223194)-π/2
    2×0.174779625436015-π/2
    0.34955925087203-1.57079632675     		φ = -1.22123708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06051969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22123708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.971730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27130 KachelY 25427 2.06051969 -1.22123708 118.059082 -69.971730
    Oben rechts KachelX + 1 27131 KachelY 25427 2.06071144 -1.22123708 118.070068 -69.971730
    Unten links KachelX 27130 KachelY + 1 25428 2.06051969 -1.22130274 118.059082 -69.975493
    Unten rechts KachelX + 1 27131 KachelY + 1 25428 2.06071144 -1.22130274 118.070068 -69.975493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22123708--1.22130274) × R
    6.56599999999674e-05 × 6371000     		dl = 418.319859999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22123708--1.22130274) × R
    6.56599999999674e-05 × 6371000     		dr = 418.319859999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06051969-2.06071144) × cos(-1.22123708) × R
    0.000191749999999935 × 0.342483742628638 × 6371000     		do = 418.391582481901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06051969-2.06071144) × cos(-1.22130274) × R
    0.000191749999999935 × 0.342422052760671 × 6371000     		du = 418.316219717865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22123708)-sin(-1.22130274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342483742628638-0.342422052760671)×R²
    abs(2.06071144-2.06051969)×6.1689867966952e-05×R²
    0.000191749999999935×6.1689867966952e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.1689867966952e-05×40589641000000     		ar = 175005.74540122m²