Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2713 / 1111
↖ ↑ ↗
← N 82.428524°
W120.388183°		 ← 321.93 m → N 82.428524°
W120.366211°		 →
↑
321.99 m
↓
↑
321.99 m
↓
N 82.425629°
W120.388183°		 ← 322.05 m →
103 676 m²		 N 82.425629°
W120.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165618896484375 y=0.067840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165618896484375 × 214)
    floor (0.165618896484375 × 16384)
    floor (2713.5)     		tx = 2713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.067840576171875 × 214)
    floor (0.067840576171875 × 16384)
    floor (1111.5)     		ty = 1111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2713 / 1111 ti = "14/2713/1111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2713/1111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2713 ÷ 214
    2713 ÷ 16384     		x = 0.16558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1111 ÷ 214
    1111 ÷ 16384     		y = 0.06781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.6688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10117018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06781005859375 × 2 - 1) × π
    0.8643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.71552948967694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10117018} λ = -2.10117018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71552948967694))-π/2
    2×atan(15.1126099247355)-π/2
    2×1.50472274045551-π/2
    3.00944548091103-1.57079632675     		φ = 1.43864915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10117018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.388183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43864915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.428524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2713 KachelY 1111 -2.10117018 1.43864915 -120.388183 82.428524
    Oben rechts KachelX + 1 2714 KachelY 1111 -2.10078669 1.43864915 -120.366211 82.428524
    Unten links KachelX 2713 KachelY + 1 1112 -2.10117018 1.43859861 -120.388183 82.425629
    Unten rechts KachelX + 1 2714 KachelY + 1 1112 -2.10078669 1.43859861 -120.366211 82.425629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43864915-1.43859861) × R
    5.05399999999323e-05 × 6371000     		dl = 321.990339999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43864915-1.43859861) × R
    5.05399999999323e-05 × 6371000     		dr = 321.990339999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10117018--2.10078669) × cos(1.43864915) × R
    0.000383489999999931 × 0.131762900842177 × 6371000     		do = 321.925068110852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10117018--2.10078669) × cos(1.43859861) × R
    0.000383489999999931 × 0.131813000028795 × 6371000     		du = 322.047471184564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43864915)-sin(1.43859861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131762900842177-0.131813000028795)×R²
    abs(-2.10078669--2.10117018)×5.00991866176914e-05×R²
    0.000383489999999931×5.00991866176914e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.00991866176914e-05×40589641000000     		ar = 103676.468460024m²