Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27129 / 25053
↖ ↑ ↗
← S 68.516167°
E118.048096°		 ← 447.39 m → S 68.516167°
E118.059082°		 →
↑
447.37 m
↓
↑
447.37 m
↓
S 68.520191°
E118.048096°		 ← 447.31 m →
200 131 m²		 S 68.520191°
E118.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827926635742188 y=0.764572143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827926635742188 × 215)
    floor (0.827926635742188 × 32768)
    floor (27129.5)     		tx = 27129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764572143554688 × 215)
    floor (0.764572143554688 × 32768)
    floor (25053.5)     		ty = 25053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27129 / 25053 ti = "15/27129/25053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27129/25053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27129 ÷ 215
    27129 ÷ 32768     		x = 0.827911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25053 ÷ 215
    25053 ÷ 32768     		y = 0.764556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827911376953125 × 2 - 1) × π
    0.65582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06032795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.52911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66225993122507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06032795} λ = 2.06032795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66225993122507))-π/2
    2×atan(0.1897097642651)-π/2
    2×0.187481808326672-π/2
    0.374963616653344-1.57079632675     		φ = -1.19583271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06032795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.048096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19583271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.516167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27129 KachelY 25053 2.06032795 -1.19583271 118.048096 -68.516167
    Oben rechts KachelX + 1 27130 KachelY 25053 2.06051969 -1.19583271 118.059082 -68.516167
    Unten links KachelX 27129 KachelY + 1 25054 2.06032795 -1.19590293 118.048096 -68.520191
    Unten rechts KachelX + 1 27130 KachelY + 1 25054 2.06051969 -1.19590293 118.059082 -68.520191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19583271--1.19590293) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dl = 447.371620000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19583271--1.19590293) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dr = 447.371620000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06032795-2.06051969) × cos(-1.19583271) × R
    0.000191739999999996 × 0.366238673993972 × 6371000     		do = 447.388205953061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06032795-2.06051969) × cos(-1.19590293) × R
    0.000191739999999996 × 0.366173331910161 × 6371000     		du = 447.308385661745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19583271)-sin(-1.19590293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366238673993972-0.366173331910161)×R²
    abs(2.06051969-2.06032795)×6.53420838109819e-05×R²
    0.000191739999999996×6.53420838109819e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.53420838109819e-05×40589641000000     		ar = 200130.931881579m²