Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27129 / 10607
↖ ↑ ↗
← N 53.442264°
E118.048096°		 ← 727.61 m → N 53.442264°
E118.059082°		 →
↑
727.70 m
↓
↑
727.70 m
↓
N 53.435719°
E118.048096°		 ← 727.72 m →
529 519 m²		 N 53.435719°
E118.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827926635742188 y=0.323715209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827926635742188 × 215)
    floor (0.827926635742188 × 32768)
    floor (27129.5)     		tx = 27129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323715209960938 × 215)
    floor (0.323715209960938 × 32768)
    floor (10607.5)     		ty = 10607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27129 / 10607 ti = "15/27129/10607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27129/10607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27129 ÷ 215
    27129 ÷ 32768     		x = 0.827911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10607 ÷ 215
    10607 ÷ 32768     		y = 0.323699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827911376953125 × 2 - 1) × π
    0.65582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06032795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323699951171875 × 2 - 1) × π
    0.35260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10772587642026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06032795} λ = 2.06032795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10772587642026))-π/2
    2×atan(3.02746572881873)-π/2
    2×1.25176989250295-π/2
    2.50353978500591-1.57079632675     		φ = 0.93274346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06032795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.048096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93274346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.442264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27129 KachelY 10607 2.06032795 0.93274346 118.048096 53.442264
    Oben rechts KachelX + 1 27130 KachelY 10607 2.06051969 0.93274346 118.059082 53.442264
    Unten links KachelX 27129 KachelY + 1 10608 2.06032795 0.93262924 118.048096 53.435719
    Unten rechts KachelX + 1 27130 KachelY + 1 10608 2.06051969 0.93262924 118.059082 53.435719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93274346-0.93262924) × R
    0.000114219999999943 × 6371000     		dl = 727.695619999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93274346-0.93262924) × R
    0.000114219999999943 × 6371000     		dr = 727.695619999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06032795-2.06051969) × cos(0.93274346) × R
    0.000191739999999996 × 0.59563252298396 × 6371000     		do = 727.610120905677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06032795-2.06051969) × cos(0.93262924) × R
    0.000191739999999996 × 0.595724267119292 × 6371000     		du = 727.722193297337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93274346)-sin(0.93262924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59563252298396-0.595724267119292)×R²
    abs(2.06051969-2.06032795)×9.17441353317505e-05×R²
    0.000191739999999996×9.17441353317505e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.17441353317505e-05×40589641000000     		ar = 529519.475921158m²