Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27128 / 25048
↖ ↑ ↗
← S 68.496040°
E118.037109°		 ← 447.81 m → S 68.496040°
E118.048096°		 →
↑
447.75 m
↓
↑
447.75 m
↓
S 68.500067°
E118.037109°		 ← 447.73 m →
200 491 m²		 S 68.500067°
E118.048096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827896118164062 y=0.764419555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827896118164062 × 215)
    floor (0.827896118164062 × 32768)
    floor (27128.5)     		tx = 27128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764419555664062 × 215)
    floor (0.764419555664062 × 32768)
    floor (25048.5)     		ty = 25048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27128 / 25048 ti = "15/27128/25048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27128/25048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27128 ÷ 215
    27128 ÷ 32768     		x = 0.827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25048 ÷ 215
    25048 ÷ 32768     		y = 0.764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827880859375 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06013620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.52880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66130119323267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06013620} λ = 2.06013620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66130119323267))-π/2
    2×atan(0.189891733440072)-π/2
    2×0.18765745012416-π/2
    0.37531490024832-1.57079632675     		φ = -1.19548143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06013620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19548143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.496040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27128 KachelY 25048 2.06013620 -1.19548143 118.037109 -68.496040
    Oben rechts KachelX + 1 27129 KachelY 25048 2.06032795 -1.19548143 118.048096 -68.496040
    Unten links KachelX 27128 KachelY + 1 25049 2.06013620 -1.19555171 118.037109 -68.500067
    Unten rechts KachelX + 1 27129 KachelY + 1 25049 2.06032795 -1.19555171 118.048096 -68.500067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19548143--1.19555171) × R
    7.02799999998671e-05 × 6371000     		dl = 447.753879999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19548143--1.19555171) × R
    7.02799999998671e-05 × 6371000     		dr = 447.753879999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06013620-2.06032795) × cos(-1.19548143) × R
    0.000191749999999935 × 0.366565524789182 × 6371000     		do = 447.810832779161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06013620-2.06032795) × cos(-1.19555171) × R
    0.000191749999999935 × 0.366500135917483 × 6371000     		du = 447.730951166981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19548143)-sin(-1.19555171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366565524789182-0.366500135917483)×R²
    abs(2.06032795-2.06013620)×6.53888716986017e-05×R²
    0.000191749999999935×6.53888716986017e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.53888716986017e-05×40589641000000     		ar = 200491.15431413m²