Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27126 / 25402
↖ ↑ ↗
← S 69.877452°
E118.015137°		 ← 420.28 m → S 69.877452°
E118.026123°		 →
↑
420.23 m
↓
↑
420.23 m
↓
S 69.881231°
E118.015137°		 ← 420.20 m →
176 599 m²		 S 69.881231°
E118.026123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827835083007812 y=0.775222778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827835083007812 × 215)
    floor (0.827835083007812 × 32768)
    floor (27126.5)     		tx = 27126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775222778320312 × 215)
    floor (0.775222778320312 × 32768)
    floor (25402.5)     		ty = 25402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27126 / 25402 ti = "15/27126/25402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27126/25402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27126 ÷ 215
    27126 ÷ 32768     		x = 0.82781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25402 ÷ 215
    25402 ÷ 32768     		y = 0.77520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82781982421875 × 2 - 1) × π
    0.6556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05975270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.5504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72917984309467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05975270} λ = 2.05975270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72917984309467))-π/2
    2×atan(0.177429870645058)-π/2
    2×0.175602356826973-π/2
    0.351204713653947-1.57079632675     		φ = -1.21959161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05975270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.015137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21959161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.877452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27126 KachelY 25402 2.05975270 -1.21959161 118.015137 -69.877452
    Oben rechts KachelX + 1 27127 KachelY 25402 2.05994445 -1.21959161 118.026123 -69.877452
    Unten links KachelX 27126 KachelY + 1 25403 2.05975270 -1.21965757 118.015137 -69.881231
    Unten rechts KachelX + 1 27127 KachelY + 1 25403 2.05994445 -1.21965757 118.026123 -69.881231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21959161--1.21965757) × R
    6.59600000001426e-05 × 6371000     		dl = 420.231160000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21959161--1.21965757) × R
    6.59600000001426e-05 × 6371000     		dr = 420.231160000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05975270-2.05994445) × cos(-1.21959161) × R
    0.000191749999999935 × 0.344029236434484 × 6371000     		do = 420.279618375753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05975270-2.05994445) × cos(-1.21965757) × R
    0.000191749999999935 × 0.343967301954688 × 6371000     		du = 420.203956784306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21959161)-sin(-1.21965757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344029236434484-0.343967301954688)×R²
    abs(2.05994445-2.05975270)×6.19344797960775e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19344797960775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19344797960775e-05×40589641000000     		ar = 176598.693939455m²