Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27125 / 6358
↖ ↑ ↗
← N 80.909352°
W 30.997925°		 ← 96.50 m → N 80.909352°
W 30.992432°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.908484°
W 30.997925°		 ← 96.51 m →
9 315 m²		 N 80.908484°
W 30.992432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413902282714844 y=0.0970230102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413902282714844 × 216)
    floor (0.413902282714844 × 65536)
    floor (27125.5)     		tx = 27125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970230102539062 × 216)
    floor (0.0970230102539062 × 65536)
    floor (6358.5)     		ty = 6358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27125 / 6358 ti = "16/27125/6358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27125/6358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27125 ÷ 216
    27125 ÷ 65536     		x = 0.413894653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6358 ÷ 216
    6358 ÷ 65536     		y = 0.097015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413894653320312 × 2 - 1) × π
    -0.172210693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54101585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097015380859375 × 2 - 1) × π
    0.80596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53202703793137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54101585} λ = -0.54101585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53202703793137))-π/2
    2×atan(12.5789783776564)-π/2
    2×1.49146545479463-π/2
    2.98293090958926-1.57079632675     		φ = 1.41213458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54101585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.997925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41213458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.909352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27125 KachelY 6358 -0.54101585 1.41213458 -30.997925 80.909352
    Oben rechts KachelX + 1 27126 KachelY 6358 -0.54091998 1.41213458 -30.992432 80.909352
    Unten links KachelX 27125 KachelY + 1 6359 -0.54101585 1.41211943 -30.997925 80.908484
    Unten rechts KachelX + 1 27126 KachelY + 1 6359 -0.54091998 1.41211943 -30.992432 80.908484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41213458-1.41211943) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41213458-1.41211943) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54101585--0.54091998) × cos(1.41213458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		do = 96.5025768255235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54101585--0.54091998) × cos(1.41211943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158011863961181 × 6371000     		du = 96.5117140223909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41213458)-sin(1.41211943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157996904269261-0.158011863961181)×R²
    abs(-0.54091998--0.54101585)×1.49596919195305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49596919195305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49596919195305e-05×40589641000000     		ar = 9314.93240624409m²