Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27125 / 25045
↖ ↑ ↗
← S 68.483956°
E118.004151°		 ← 448.03 m → S 68.483956°
E118.015137°		 →
↑
448.01 m
↓
↑
448.01 m
↓
S 68.487985°
E118.004151°		 ← 447.95 m →
200 702 m²		 S 68.487985°
E118.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827804565429688 y=0.764328002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827804565429688 × 215)
    floor (0.827804565429688 × 32768)
    floor (27125.5)     		tx = 27125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764328002929688 × 215)
    floor (0.764328002929688 × 32768)
    floor (25045.5)     		ty = 25045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27125 / 25045 ti = "15/27125/25045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27125/25045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27125 ÷ 215
    27125 ÷ 32768     		x = 0.827789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25045 ÷ 215
    25045 ÷ 32768     		y = 0.764312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827789306640625 × 2 - 1) × π
    0.65557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05956096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.52862548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66072595043723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05956096} λ = 2.05956096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66072595043723))-π/2
    2×atan(0.190000998715666)-π/2
    2×0.187762910431635-π/2
    0.37552582086327-1.57079632675     		φ = -1.19527051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05956096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.004151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19527051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.483956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27125 KachelY 25045 2.05956096 -1.19527051 118.004151 -68.483956
    Oben rechts KachelX + 1 27126 KachelY 25045 2.05975270 -1.19527051 118.015137 -68.483956
    Unten links KachelX 27125 KachelY + 1 25046 2.05956096 -1.19534083 118.004151 -68.487985
    Unten rechts KachelX + 1 27126 KachelY + 1 25046 2.05975270 -1.19534083 118.015137 -68.487985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19527051--1.19534083) × R
    7.03199999998461e-05 × 6371000     		dl = 448.008719999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19527051--1.19534083) × R
    7.03199999998461e-05 × 6371000     		dr = 448.008719999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05956096-2.05975270) × cos(-1.19527051) × R
    0.000191739999999996 × 0.366761754964764 × 6371000     		do = 448.02718887242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05956096-2.05975270) × cos(-1.19534083) × R
    0.000191739999999996 × 0.366696334314177 × 6371000     		du = 447.947272605851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19527051)-sin(-1.19534083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366761754964764-0.366696334314177)×R²
    abs(2.05975270-2.05956096)×6.54206505875665e-05×R²
    0.000191739999999996×6.54206505875665e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.54206505875665e-05×40589641000000     		ar = 200702.185902199m²