Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27124 / 44567
↖ ↑ ↗
← S 54.236340°
W 31.003418°		 ← 356.97 m → S 54.236340°
W 30.997925°		 →
↑
356.97 m
↓
↑
356.97 m
↓
S 54.239550°
W 31.003418°		 ← 356.94 m →
127 422 m²		 S 54.239550°
W 30.997925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413887023925781 y=0.680046081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413887023925781 × 216)
    floor (0.413887023925781 × 65536)
    floor (27124.5)     		tx = 27124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680046081542969 × 216)
    floor (0.680046081542969 × 65536)
    floor (44567.5)     		ty = 44567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27124 / 44567 ti = "16/27124/44567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27124/44567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27124 ÷ 216
    27124 ÷ 65536     		x = 0.41387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44567 ÷ 216
    44567 ÷ 65536     		y = 0.680038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54111172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680038452148438 × 2 - 1) × π
    -0.360076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13121495723409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54111172} λ = -0.54111172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13121495723409))-π/2
    2×atan(0.322641023152086)-π/2
    2×0.312096807920236-π/2
    0.624193615840472-1.57079632675     		φ = -0.94660271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54111172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.003418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94660271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.236340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27124 KachelY 44567 -0.54111172 -0.94660271 -31.003418 -54.236340
    Oben rechts KachelX + 1 27125 KachelY 44567 -0.54101585 -0.94660271 -30.997925 -54.236340
    Unten links KachelX 27124 KachelY + 1 44568 -0.54111172 -0.94665874 -31.003418 -54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 27125 KachelY + 1 44568 -0.54101585 -0.94665874 -30.997925 -54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94660271--0.94665874) × R
    5.60300000000957e-05 × 6371000     		dl = 356.96713000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94660271--0.94665874) × R
    5.60300000000957e-05 × 6371000     		dr = 356.96713000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54111172--0.54101585) × cos(-0.94660271) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		do = 356.970719571004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54111172--0.54101585) × cos(-0.94665874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 356.942949737447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94660271)-sin(-0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584443135740933-0.584397670139097)×R²
    abs(-0.54101585--0.54111172)×4.54656018358257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54656018358257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54656018358257e-05×40589641000000     		ar = 127421.856833984m²