Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27124 / 25401
↖ ↑ ↗
← S 69.873672°
E117.993164°		 ← 420.36 m → S 69.873672°
E118.004151°		 →
↑
420.29 m
↓
↑
420.29 m
↓
S 69.877452°
E117.993164°		 ← 420.28 m →
176 657 m²		 S 69.877452°
E118.004151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827774047851562 y=0.775192260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827774047851562 × 215)
    floor (0.827774047851562 × 32768)
    floor (27124.5)     		tx = 27124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775192260742188 × 215)
    floor (0.775192260742188 × 32768)
    floor (25401.5)     		ty = 25401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27124 / 25401 ti = "15/27124/25401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27124/25401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27124 ÷ 215
    27124 ÷ 32768     		x = 0.8277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25401 ÷ 215
    25401 ÷ 32768     		y = 0.775177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8277587890625 × 2 - 1) × π
    0.655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05936921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.55035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72898809549619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05936921} λ = 2.05936921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72898809549619))-π/2
    2×atan(0.177463895658656)-π/2
    2×0.175635343186008-π/2
    0.351270686372015-1.57079632675     		φ = -1.21952564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05936921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21952564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.873672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27124 KachelY 25401 2.05936921 -1.21952564 117.993164 -69.873672
    Oben rechts KachelX + 1 27125 KachelY 25401 2.05956096 -1.21952564 118.004151 -69.873672
    Unten links KachelX 27124 KachelY + 1 25402 2.05936921 -1.21959161 117.993164 -69.877452
    Unten rechts KachelX + 1 27125 KachelY + 1 25402 2.05956096 -1.21959161 118.004151 -69.877452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21952564--1.21959161) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dl = 420.294869999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21952564--1.21959161) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dr = 420.294869999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05936921-2.05956096) × cos(-1.21952564) × R
    0.000191750000000379 × 0.344091178806867 × 6371000     		do = 420.355289610068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05936921-2.05956096) × cos(-1.21959161) × R
    0.000191750000000379 × 0.344029236434484 × 6371000     		du = 420.279618376727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21952564)-sin(-1.21959161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344091178806867-0.344029236434484)×R²
    abs(2.05956096-2.05936921)×6.19423723827728e-05×R²
    0.000191750000000379×6.19423723827728e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.19423723827728e-05×40589641000000     		ar = 176657.269748267m²