Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27123 / 7395
↖ ↑ ↗
← N 79.963718°
W 31.008911°		 ← 106.45 m → N 79.963718°
W 31.003418°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 79.962761°
W 31.008911°		 ← 106.46 m →
11 334 m²		 N 79.962761°
W 31.003418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413871765136719 y=0.112846374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413871765136719 × 216)
    floor (0.413871765136719 × 65536)
    floor (27123.5)     		tx = 27123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112846374511719 × 216)
    floor (0.112846374511719 × 65536)
    floor (7395.5)     		ty = 7395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27123 / 7395 ti = "16/27123/7395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27123/7395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27123 ÷ 216
    27123 ÷ 65536     		x = 0.413864135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7395 ÷ 216
    7395 ÷ 65536     		y = 0.112838745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413864135742188 × 2 - 1) × π
    -0.172271728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54120760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112838745117188 × 2 - 1) × π
    0.774322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43260590811937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54120760} λ = -0.54120760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43260590811937))-π/2
    2×atan(11.3885208842685)-π/2
    2×1.48321324471506-π/2
    2.96642648943012-1.57079632675     		φ = 1.39563016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54120760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.008911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39563016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.963718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27123 KachelY 7395 -0.54120760 1.39563016 -31.008911 79.963718
    Oben rechts KachelX + 1 27124 KachelY 7395 -0.54111172 1.39563016 -31.003418 79.963718
    Unten links KachelX 27123 KachelY + 1 7396 -0.54120760 1.39561345 -31.008911 79.962761
    Unten rechts KachelX + 1 27124 KachelY + 1 7396 -0.54111172 1.39561345 -31.003418 79.962761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39563016-1.39561345) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39563016-1.39561345) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54120760--0.54111172) × cos(1.39563016) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174271764041977 × 6371000     		do = 106.454164987306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54120760--0.54111172) × cos(1.39561345) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174288218314447 × 6371000     		du = 106.464216103997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39563016)-sin(1.39561345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174271764041977-0.174288218314447)×R²
    abs(-0.54111172--0.54120760)×1.64542724699901e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.64542724699901e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.64542724699901e-05×40589641000000     		ar = 11333.5826148991m²