Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27120 / 9277
↖ ↑ ↗
← N 77.992477°
W 31.025391°		 ← 127.08 m → N 77.992477°
W 31.019897°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 77.991335°
W 31.025391°		 ← 127.09 m →
16 145 m²		 N 77.991335°
W 31.019897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413825988769531 y=0.141563415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413825988769531 × 216)
    floor (0.413825988769531 × 65536)
    floor (27120.5)     		tx = 27120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141563415527344 × 216)
    floor (0.141563415527344 × 65536)
    floor (9277.5)     		ty = 9277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27120 / 9277 ti = "16/27120/9277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27120/9277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27120 ÷ 216
    27120 ÷ 65536     		x = 0.413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9277 ÷ 216
    9277 ÷ 65536     		y = 0.141555786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54149522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141555786132812 × 2 - 1) × π
    0.716888427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25217141794948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54149522} λ = -0.54149522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25217141794948))-π/2
    2×atan(9.50836006005457)-π/2
    2×1.46601092549016-π/2
    2.93202185098032-1.57079632675     		φ = 1.36122552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54149522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.025391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36122552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.992477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27120 KachelY 9277 -0.54149522 1.36122552 -31.025391 77.992477
    Oben rechts KachelX + 1 27121 KachelY 9277 -0.54139934 1.36122552 -31.019897 77.992477
    Unten links KachelX 27120 KachelY + 1 9278 -0.54149522 1.36120558 -31.025391 77.991335
    Unten rechts KachelX + 1 27121 KachelY + 1 9278 -0.54139934 1.36120558 -31.019897 77.991335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36122552-1.36120558) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36122552-1.36120558) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54149522--0.54139934) × cos(1.36122552) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.20804011643614 × 6371000     		do = 127.081613024452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54149522--0.54139934) × cos(1.36120558) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208059620113447 × 6371000     		du = 127.093526874601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36122552)-sin(1.36120558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20804011643614-0.208059620113447)×R²
    abs(-0.54139934--0.54149522)×1.95036773066593e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.95036773066593e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.95036773066593e-05×40589641000000     		ar = 16144.9176691861m²