Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27120 / 25055
↖ ↑ ↗
← S 68.524213°
E117.949219°		 ← 447.23 m → S 68.524213°
E117.960205°		 →
↑
447.18 m
↓
↑
447.18 m
↓
S 68.528235°
E117.949219°		 ← 447.15 m →
199 974 m²		 S 68.528235°
E117.960205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827651977539062 y=0.764633178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827651977539062 × 215)
    floor (0.827651977539062 × 32768)
    floor (27120.5)     		tx = 27120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764633178710938 × 215)
    floor (0.764633178710938 × 32768)
    floor (25055.5)     		ty = 25055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27120 / 25055 ti = "15/27120/25055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27120/25055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27120 ÷ 215
    27120 ÷ 32768     		x = 0.82763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25055 ÷ 215
    25055 ÷ 32768     		y = 0.764617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82763671875 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05860222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.52923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66264342642203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05860222} λ = 2.05860222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66264342642203))-π/2
    2×atan(0.189637025430076)-π/2
    2×0.187411595469204-π/2
    0.374823190938408-1.57079632675     		φ = -1.19597314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05860222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19597314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.524213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27120 KachelY 25055 2.05860222 -1.19597314 117.949219 -68.524213
    Oben rechts KachelX + 1 27121 KachelY 25055 2.05879396 -1.19597314 117.960205 -68.524213
    Unten links KachelX 27120 KachelY + 1 25056 2.05860222 -1.19604333 117.949219 -68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 27121 KachelY + 1 25056 2.05879396 -1.19604333 117.960205 -68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19597314--1.19604333) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dl = 447.180489999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19597314--1.19604333) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dr = 447.180489999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05860222-2.05879396) × cos(-1.19597314) × R
    0.000191739999999996 × 0.366107997326529 × 6371000     		do = 447.228574532463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05860222-2.05879396) × cos(-1.19604333) × R
    0.000191739999999996 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 447.14878393451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19597314)-sin(-1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366107997326529-0.366042679550149)×R²
    abs(2.05879396-2.05860222)×6.53177763799695e-05×R²
    0.000191739999999996×6.53177763799695e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.53177763799695e-05×40589641000000     		ar = 199974.052783981m²