Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2712 / 1080
↖ ↑ ↗
← N 82.517748°
W120.410156°		 ← 318.16 m → N 82.517748°
W120.388183°		 →
↑
318.17 m
↓
↑
318.17 m
↓
N 82.514887°
W120.410156°		 ← 318.28 m →
101 248 m²		 N 82.514887°
W120.388183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165557861328125 y=0.065948486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165557861328125 × 214)
    floor (0.165557861328125 × 16384)
    floor (2712.5)     		tx = 2712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.065948486328125 × 214)
    floor (0.065948486328125 × 16384)
    floor (1080.5)     		ty = 1080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2712 / 1080 ti = "14/2712/1080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2712/1080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2712 ÷ 214
    2712 ÷ 16384     		x = 0.16552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1080 ÷ 214
    1080 ÷ 16384     		y = 0.06591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16552734375 × 2 - 1) × π
    -0.6689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10155368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06591796875 × 2 - 1) × π
    0.8681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.72741784078271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10155368} λ = -2.10155368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72741784078271))-π/2
    2×atan(15.2933461367591)-π/2
    2×1.50550136498839-π/2
    3.01100272997677-1.57079632675     		φ = 1.44020640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10155368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44020640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.517748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2712 KachelY 1080 -2.10155368 1.44020640 -120.410156 82.517748
    Oben rechts KachelX + 1 2713 KachelY 1080 -2.10117018 1.44020640 -120.388183 82.517748
    Unten links KachelX 2712 KachelY + 1 1081 -2.10155368 1.44015646 -120.410156 82.514887
    Unten rechts KachelX + 1 2713 KachelY + 1 1081 -2.10117018 1.44015646 -120.388183 82.514887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44020640-1.44015646) × R
    4.99400000000261e-05 × 6371000     		dl = 318.167740000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44020640-1.44015646) × R
    4.99400000000261e-05 × 6371000     		dr = 318.167740000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10155368--2.10117018) × cos(1.44020640) × R
    0.00038349999999987 × 0.130219068958444 × 6371000     		do = 318.161451476076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10155368--2.10117018) × cos(1.44015646) × R
    0.00038349999999987 × 0.130268583569252 × 6371000     		du = 318.282429460098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44020640)-sin(1.44015646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130219068958444-0.130268583569252)×R²
    abs(-2.10117018--2.10155368)×4.95146108075717e-05×R²
    0.00038349999999987×4.95146108075717e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.95146108075717e-05×40589641000000     		ar = 101247.955637494m²