Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27119 / 6449
↖ ↑ ↗
← N 80.830031°
W 31.030884°		 ← 97.34 m → N 80.830031°
W 31.025391°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
N 80.829156°
W 31.030884°		 ← 97.35 m →
9 476 m²		 N 80.829156°
W 31.025391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413810729980469 y=0.0984115600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413810729980469 × 216)
    floor (0.413810729980469 × 65536)
    floor (27119.5)     		tx = 27119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0984115600585938 × 216)
    floor (0.0984115600585938 × 65536)
    floor (6449.5)     		ty = 6449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27119 / 6449 ti = "16/27119/6449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27119/6449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27119 ÷ 216
    27119 ÷ 65536     		x = 0.413803100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6449 ÷ 216
    6449 ÷ 65536     		y = 0.0984039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413803100585938 × 2 - 1) × π
    -0.172393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54159109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0984039306640625 × 2 - 1) × π
    0.803192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52330252220052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54159109} λ = -0.54159109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52330252220052))-π/2
    2×atan(12.4697102318486)-π/2
    2×1.49077325443944-π/2
    2.98154650887889-1.57079632675     		φ = 1.41075018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54159109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.030884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41075018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.830031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27119 KachelY 6449 -0.54159109 1.41075018 -31.030884 80.830031
    Oben rechts KachelX + 1 27120 KachelY 6449 -0.54149522 1.41075018 -31.025391 80.830031
    Unten links KachelX 27119 KachelY + 1 6450 -0.54159109 1.41073490 -31.030884 80.829156
    Unten rechts KachelX + 1 27120 KachelY + 1 6450 -0.54149522 1.41073490 -31.025391 80.829156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41075018-1.41073490) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41075018-1.41073490) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54159109--0.54149522) × cos(1.41075018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159363763819556 × 6371000     		do = 97.3374379221511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54159109--0.54149522) × cos(1.41073490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159378848521486 × 6371000     		du = 97.3466514736043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41075018)-sin(1.41073490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159363763819556-0.159378848521486)×R²
    abs(-0.54149522--0.54159109)×1.50847019303457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50847019303457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50847019303457e-05×40589641000000     		ar = 9476.13902853356m²