Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27118 / 6298
↖ ↑ ↗
← N 80.961278°
W 31.036377°		 ← 95.97 m → N 80.961278°
W 31.030884°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 80.960415°
W 31.036377°		 ← 95.98 m →
9 208 m²		 N 80.960415°
W 31.030884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413795471191406 y=0.0961074829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413795471191406 × 216)
    floor (0.413795471191406 × 65536)
    floor (27118.5)     		tx = 27118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961074829101562 × 216)
    floor (0.0961074829101562 × 65536)
    floor (6298.5)     		ty = 6298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27118 / 6298 ti = "16/27118/6298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27118/6298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27118 ÷ 216
    27118 ÷ 65536     		x = 0.413787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6298 ÷ 216
    6298 ÷ 65536     		y = 0.096099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54168697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096099853515625 × 2 - 1) × π
    0.80780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53777946588577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54168697} λ = -0.54168697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53777946588577))-π/2
    2×atan(12.6515465660424)-π/2
    2×1.49191859943995-π/2
    2.98383719887991-1.57079632675     		φ = 1.41304087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54168697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.036377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41304087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.961278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27118 KachelY 6298 -0.54168697 1.41304087 -31.036377 80.961278
    Oben rechts KachelX + 1 27119 KachelY 6298 -0.54159109 1.41304087 -31.030884 80.961278
    Unten links KachelX 27118 KachelY + 1 6299 -0.54168697 1.41302581 -31.036377 80.960415
    Unten rechts KachelX + 1 27119 KachelY + 1 6299 -0.54159109 1.41302581 -31.030884 80.960415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41304087-1.41302581) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41304087-1.41302581) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54168697--0.54159109) × cos(1.41304087) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.1571019328637 × 6371000     		do = 95.9659482005887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54168697--0.54159109) × cos(1.41302581) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15711680583672 × 6371000     		du = 95.9750333781701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41304087)-sin(1.41302581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1571019328637-0.15711680583672)×R²
    abs(-0.54159109--0.54168697)×1.48729730202468e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48729730202468e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48729730202468e-05×40589641000000     		ar = 9208.1056322984m²