Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27116 / 6276
↖ ↑ ↗
← N 80.980244°
W 31.047363°		 ← 95.76 m → N 80.980244°
W 31.041870°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 80.979383°
W 31.047363°		 ← 95.77 m →
9 170 m²		 N 80.979383°
W 31.041870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413764953613281 y=0.0957717895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413764953613281 × 216)
    floor (0.413764953613281 × 65536)
    floor (27116.5)     		tx = 27116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957717895507812 × 216)
    floor (0.0957717895507812 × 65536)
    floor (6276.5)     		ty = 6276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27116 / 6276 ti = "16/27116/6276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27116/6276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27116 ÷ 216
    27116 ÷ 65536     		x = 0.41375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6276 ÷ 216
    6276 ÷ 65536     		y = 0.09576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54187871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09576416015625 × 2 - 1) × π
    0.8084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53988868946906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54187871} λ = -0.54187871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53988868946906))-π/2
    2×atan(12.6782596684738)-π/2
    2×1.49208410854541-π/2
    2.98416821709082-1.57079632675     		φ = 1.41337189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54187871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.047363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41337189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.980244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27116 KachelY 6276 -0.54187871 1.41337189 -31.047363 80.980244
    Oben rechts KachelX + 1 27117 KachelY 6276 -0.54178284 1.41337189 -31.041870 80.980244
    Unten links KachelX 27116 KachelY + 1 6277 -0.54187871 1.41335686 -31.047363 80.979383
    Unten rechts KachelX + 1 27117 KachelY + 1 6277 -0.54178284 1.41335686 -31.041870 80.979383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41337189-1.41335686) × R
    1.5030000000138e-05 × 6371000     		dl = 95.7561300008791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41337189-1.41335686) × R
    1.5030000000138e-05 × 6371000     		dr = 95.7561300008791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54187871--0.54178284) × cos(1.41337189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156775014738822 × 6371000     		do = 95.7562616440402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54187871--0.54178284) × cos(1.41335686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156789858865284 × 6371000     		du = 95.7653282549393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41337189)-sin(1.41335686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156775014738822-0.156789858865284)×R²
    abs(-0.54178284--0.54187871)×1.48441264615773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48441264615773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48441264615773e-05×40589641000000     		ar = 9169.68313041653m²