Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27115 / 42923
↖ ↑ ↗
← S 48.614754°
W 31.052857°		 ← 403.85 m → S 48.614754°
W 31.047363°		 →
↑
403.79 m
↓
↑
403.79 m
↓
S 48.618385°
W 31.052857°		 ← 403.82 m →
163 064 m²		 S 48.618385°
W 31.047363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413749694824219 y=0.654960632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413749694824219 × 216)
    floor (0.413749694824219 × 65536)
    floor (27115.5)     		tx = 27115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654960632324219 × 216)
    floor (0.654960632324219 × 65536)
    floor (42923.5)     		ty = 42923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27115 / 42923 ti = "16/27115/42923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27115/42923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27115 ÷ 216
    27115 ÷ 65536     		x = 0.413742065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42923 ÷ 216
    42923 ÷ 65536     		y = 0.654953002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413742065429688 × 2 - 1) × π
    -0.172515869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54197459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654953002929688 × 2 - 1) × π
    -0.309906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.97359843128334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54197459} λ = -0.54197459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97359843128334))-π/2
    2×atan(0.37772138521658)-π/2
    2×0.361154404990082-π/2
    0.722308809980164-1.57079632675     		φ = -0.84848752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54197459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.052857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84848752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.614754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27115 KachelY 42923 -0.54197459 -0.84848752 -31.052857 -48.614754
    Oben rechts KachelX + 1 27116 KachelY 42923 -0.54187871 -0.84848752 -31.047363 -48.614754
    Unten links KachelX 27115 KachelY + 1 42924 -0.54197459 -0.84855090 -31.052857 -48.618385
    Unten rechts KachelX + 1 27116 KachelY + 1 42924 -0.54187871 -0.84855090 -31.047363 -48.618385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84848752--0.84855090) × R
    6.33799999999463e-05 × 6371000     		dl = 403.793979999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84848752--0.84855090) × R
    6.33799999999463e-05 × 6371000     		dr = 403.793979999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54197459--0.54187871) × cos(-0.84848752) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.661118687151741 × 6371000     		do = 403.845328502501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54197459--0.54187871) × cos(-0.84855090) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.661071132992903 × 6371000     		du = 403.816279974194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84848752)-sin(-0.84855090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661118687151741-0.661071132992903)×R²
    abs(-0.54187871--0.54197459)×4.75541588389472e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75541588389472e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75541588389472e-05×40589641000000     		ar = 163064.447744082m²