Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27114 / 7382
↖ ↑ ↗
← N 79.976155°
W 31.058350°		 ← 106.31 m → N 79.976155°
W 31.052857°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 79.975199°
W 31.058350°		 ← 106.32 m →
11 298 m²		 N 79.975199°
W 31.052857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413734436035156 y=0.112648010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413734436035156 × 216)
    floor (0.413734436035156 × 65536)
    floor (27114.5)     		tx = 27114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112648010253906 × 216)
    floor (0.112648010253906 × 65536)
    floor (7382.5)     		ty = 7382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27114 / 7382 ti = "16/27114/7382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27114/7382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27114 ÷ 216
    27114 ÷ 65536     		x = 0.413726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7382 ÷ 216
    7382 ÷ 65536     		y = 0.112640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.17254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54207046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112640380859375 × 2 - 1) × π
    0.77471923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43385226750949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54207046} λ = -0.54207046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43385226750949))-π/2
    2×atan(11.4027239234193)-π/2
    2×1.48332178072132-π/2
    2.96664356144264-1.57079632675     		φ = 1.39584723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54207046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.058350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39584723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.976155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27114 KachelY 7382 -0.54207046 1.39584723 -31.058350 79.976155
    Oben rechts KachelX + 1 27115 KachelY 7382 -0.54197459 1.39584723 -31.052857 79.976155
    Unten links KachelX 27114 KachelY + 1 7383 -0.54207046 1.39583055 -31.058350 79.975199
    Unten rechts KachelX + 1 27115 KachelY + 1 7383 -0.54197459 1.39583055 -31.052857 79.975199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39584723-1.39583055) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39584723-1.39583055) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54207046--0.54197459) × cos(1.39584723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174058011631068 × 6371000     		do = 106.312504774772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54207046--0.54197459) × cos(1.39583055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174074436993331 × 6371000     		du = 106.32253718516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39584723)-sin(1.39583055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174058011631068-0.174074436993331)×R²
    abs(-0.54197459--0.54207046)×1.64253622627897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64253622627897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64253622627897e-05×40589641000000     		ar = 11298.1800887423m²