Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27114 / 10615
↖ ↑ ↗
← N 53.389881°
E117.883301°		 ← 728.54 m → N 53.389881°
E117.894287°		 →
↑
728.59 m
↓
↑
728.59 m
↓
N 53.383329°
E117.883301°		 ← 728.66 m →
530 850 m²		 N 53.383329°
E117.894287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827468872070312 y=0.323959350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827468872070312 × 215)
    floor (0.827468872070312 × 32768)
    floor (27114.5)     		tx = 27114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323959350585938 × 215)
    floor (0.323959350585938 × 32768)
    floor (10615.5)     		ty = 10615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27114 / 10615 ti = "15/27114/10615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27114/10615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27114 ÷ 215
    27114 ÷ 32768     		x = 0.82745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10615 ÷ 215
    10615 ÷ 32768     		y = 0.323944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82745361328125 × 2 - 1) × π
    0.6549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05745173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323944091796875 × 2 - 1) × π
    0.35211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10619189563242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05745173} λ = 2.05745173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10619189563242))-π/2
    2×atan(3.0228252146946)-π/2
    2×1.25131276656896-π/2
    2.50262553313791-1.57079632675     		φ = 0.93182921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05745173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.883301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93182921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.389881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27114 KachelY 10615 2.05745173 0.93182921 117.883301 53.389881
    Oben rechts KachelX + 1 27115 KachelY 10615 2.05764348 0.93182921 117.894287 53.389881
    Unten links KachelX 27114 KachelY + 1 10616 2.05745173 0.93171485 117.883301 53.383329
    Unten rechts KachelX + 1 27115 KachelY + 1 10616 2.05764348 0.93171485 117.894287 53.383329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93182921-0.93171485) × R
    0.00011435999999998 × 6371000     		dl = 728.587559999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93182921-0.93171485) × R
    0.00011435999999998 × 6371000     		dr = 728.587559999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05745173-2.05764348) × cos(0.93182921) × R
    0.000191749999999935 × 0.59636665171423 × 6371000     		do = 728.544909124936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05745173-2.05764348) × cos(0.93171485) × R
    0.000191749999999935 × 0.596458445977293 × 6371000     		du = 728.657048599619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93182921)-sin(0.93171485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59636665171423-0.596458445977293)×R²
    abs(2.05764348-2.05745173)×9.17942630633828e-05×R²
    0.000191749999999935×9.17942630633828e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.17942630633828e-05×40589641000000     		ar = 530849.609981398m²