Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27112 / 6282
↖ ↑ ↗
← N 80.975076°
W 31.069336°		 ← 95.82 m → N 80.975076°
W 31.063843°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
N 80.974214°
W 31.069336°		 ← 95.83 m →
9 182 m²		 N 80.974214°
W 31.063843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413703918457031 y=0.0958633422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413703918457031 × 216)
    floor (0.413703918457031 × 65536)
    floor (27112.5)     		tx = 27112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958633422851562 × 216)
    floor (0.0958633422851562 × 65536)
    floor (6282.5)     		ty = 6282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27112 / 6282 ti = "16/27112/6282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27112/6282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27112 ÷ 216
    27112 ÷ 65536     		x = 0.4136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6282 ÷ 216
    6282 ÷ 65536     		y = 0.095855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54226221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095855712890625 × 2 - 1) × π
    0.80828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53931344667361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54226221} λ = -0.54226221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53931344667361))-π/2
    2×atan(12.6709686881837)-π/2
    2×1.49203900388526-π/2
    2.98407800777051-1.57079632675     		φ = 1.41328168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54226221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41328168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.975076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27112 KachelY 6282 -0.54226221 1.41328168 -31.069336 80.975076
    Oben rechts KachelX + 1 27113 KachelY 6282 -0.54216633 1.41328168 -31.063843 80.975076
    Unten links KachelX 27112 KachelY + 1 6283 -0.54226221 1.41326664 -31.069336 80.974214
    Unten rechts KachelX + 1 27113 KachelY + 1 6283 -0.54216633 1.41326664 -31.063843 80.974214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41328168-1.41326664) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dl = 95.8198400004919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41328168-1.41326664) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dr = 95.8198400004919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54226221--0.54216633) × cos(1.41328168) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156864108594845 × 6371000     		do = 95.8206728939791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54226221--0.54216633) × cos(1.41326664) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15687896238485 × 6371000     		du = 95.8297463535872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41328168)-sin(1.41326664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156864108594845-0.15687896238485)×R²
    abs(-0.54216633--0.54226221)×1.48537900050427e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48537900050427e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48537900050427e-05×40589641000000     		ar = 9181.95625436985m²