Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27112 / 42920
↖ ↑ ↗
← S 48.603857°
W 31.069336°		 ← 403.93 m → S 48.603857°
W 31.063843°		 →
↑
403.92 m
↓
↑
403.92 m
↓
S 48.607490°
W 31.069336°		 ← 403.90 m →
163 151 m²		 S 48.607490°
W 31.063843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413703918457031 y=0.654914855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413703918457031 × 216)
    floor (0.413703918457031 × 65536)
    floor (27112.5)     		tx = 27112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654914855957031 × 216)
    floor (0.654914855957031 × 65536)
    floor (42920.5)     		ty = 42920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27112 / 42920 ti = "16/27112/42920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27112/42920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27112 ÷ 216
    27112 ÷ 65536     		x = 0.4136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42920 ÷ 216
    42920 ÷ 65536     		y = 0.6549072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54226221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97331080988562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54226221} λ = -0.54226221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97331080988562))-π/2
    2×atan(0.377830041594545)-π/2
    2×0.361249491189569-π/2
    0.722498982379139-1.57079632675     		φ = -0.84829734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54226221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84829734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.603857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27112 KachelY 42920 -0.54226221 -0.84829734 -31.069336 -48.603857
    Oben rechts KachelX + 1 27113 KachelY 42920 -0.54216633 -0.84829734 -31.063843 -48.603857
    Unten links KachelX 27112 KachelY + 1 42921 -0.54226221 -0.84836074 -31.069336 -48.607490
    Unten rechts KachelX + 1 27113 KachelY + 1 42921 -0.54216633 -0.84836074 -31.063843 -48.607490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84829734--0.84836074) × R
    6.33999999999357e-05 × 6371000     		dl = 403.921399999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84829734--0.84836074) × R
    6.33999999999357e-05 × 6371000     		dr = 403.921399999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54226221--0.54216633) × cos(-0.84829734) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.661261363699339 × 6371000     		do = 403.932482682295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54226221--0.54216633) × cos(-0.84836074) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.661213802505989 × 6371000     		du = 403.903429856946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84829734)-sin(-0.84836074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661261363699339-0.661213802505989)×R²
    abs(-0.54216633--0.54226221)×4.75611933500319e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75611933500319e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75611933500319e-05×40589641000000     		ar = 163151.106436341m²