Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27112 / 11992
↖ ↑ ↗
← N 43.389082°
E117.861328°		 ← 887.73 m → N 43.389082°
E117.872314°		 →
↑
887.80 m
↓
↑
887.80 m
↓
N 43.381098°
E117.861328°		 ← 887.84 m →
788 174 m²		 N 43.381098°
E117.872314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827407836914062 y=0.365982055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827407836914062 × 215)
    floor (0.827407836914062 × 32768)
    floor (27112.5)     		tx = 27112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365982055664062 × 215)
    floor (0.365982055664062 × 32768)
    floor (11992.5)     		ty = 11992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27112 / 11992 ti = "15/27112/11992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27112/11992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27112 ÷ 215
    27112 ÷ 32768     		x = 0.827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11992 ÷ 215
    11992 ÷ 32768     		y = 0.365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827392578125 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05706824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365966796875 × 2 - 1) × π
    0.26806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.842155452525146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05706824} λ = 2.05706824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842155452525146))-π/2
    2×atan(2.32136518059074)-π/2
    2×1.16403933301631-π/2
    2.32807866603261-1.57079632675     		φ = 0.75728234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05706824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75728234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.389082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27112 KachelY 11992 2.05706824 0.75728234 117.861328 43.389082
    Oben rechts KachelX + 1 27113 KachelY 11992 2.05725998 0.75728234 117.872314 43.389082
    Unten links KachelX 27112 KachelY + 1 11993 2.05706824 0.75714299 117.861328 43.381098
    Unten rechts KachelX + 1 27113 KachelY + 1 11993 2.05725998 0.75714299 117.872314 43.381098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75728234-0.75714299) × R
    0.000139350000000094 × 6371000     		dl = 887.798850000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75728234-0.75714299) × R
    0.000139350000000094 × 6371000     		dr = 887.798850000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05706824-2.05725998) × cos(0.75728234) × R
    0.000191739999999996 × 0.72670558599051 × 6371000     		do = 887.725768627354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05706824-2.05725998) × cos(0.75714299) × R
    0.000191739999999996 × 0.72680130528397 × 6371000     		du = 887.842696974951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75728234)-sin(0.75714299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72670558599051-0.72680130528397)×R²
    abs(2.05725998-2.05706824)×9.57192934605278e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57192934605278e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57192934605278e-05×40589641000000     		ar = 788173.822204904m²