Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27110 / 7394
↖ ↑ ↗
← N 79.964675°
W 31.080322°		 ← 106.44 m → N 79.964675°
W 31.074829°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 79.963718°
W 31.080322°		 ← 106.45 m →
11 333 m²		 N 79.963718°
W 31.074829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413673400878906 y=0.112831115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413673400878906 × 216)
    floor (0.413673400878906 × 65536)
    floor (27110.5)     		tx = 27110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112831115722656 × 216)
    floor (0.112831115722656 × 65536)
    floor (7394.5)     		ty = 7394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27110 / 7394 ti = "16/27110/7394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27110/7394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27110 ÷ 216
    27110 ÷ 65536     		x = 0.413665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7394 ÷ 216
    7394 ÷ 65536     		y = 0.112823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.17266845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54245396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112823486328125 × 2 - 1) × π
    0.77435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43270178191861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54245396} λ = -0.54245396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43270178191861))-π/2
    2×atan(11.3896127973755)-π/2
    2×1.48322159836867-π/2
    2.96644319673734-1.57079632675     		φ = 1.39564687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54245396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.080322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39564687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.964675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27110 KachelY 7394 -0.54245396 1.39564687 -31.080322 79.964675
    Oben rechts KachelX + 1 27111 KachelY 7394 -0.54235808 1.39564687 -31.074829 79.964675
    Unten links KachelX 27110 KachelY + 1 7395 -0.54245396 1.39563016 -31.080322 79.963718
    Unten rechts KachelX + 1 27111 KachelY + 1 7395 -0.54235808 1.39563016 -31.074829 79.963718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39564687-1.39563016) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39564687-1.39563016) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54245396--0.54235808) × cos(1.39564687) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174255309720847 × 6371000     		do = 106.444113840891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54245396--0.54235808) × cos(1.39563016) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174271764041977 × 6371000     		du = 106.454164987306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39564687)-sin(1.39563016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174255309720847-0.174271764041977)×R²
    abs(-0.54235808--0.54245396)×1.64543211306767e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.64543211306767e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.64543211306767e-05×40589641000000     		ar = 11332.5125774248m²