Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2711 / 1167
↖ ↑ ↗
← N 82.264657°
W120.432129°		 ← 328.85 m → N 82.264657°
W120.410156°		 →
↑
328.93 m
↓
↑
328.93 m
↓
N 82.261699°
W120.432129°		 ← 328.98 m →
108 191 m²		 N 82.261699°
W120.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165496826171875 y=0.071258544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165496826171875 × 214)
    floor (0.165496826171875 × 16384)
    floor (2711.5)     		tx = 2711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.071258544921875 × 214)
    floor (0.071258544921875 × 16384)
    floor (1167.5)     		ty = 1167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2711 / 1167 ti = "14/2711/1167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2711/1167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2711 ÷ 214
    2711 ÷ 16384     		x = 0.16546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1167 ÷ 214
    1167 ÷ 16384     		y = 0.07122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.6690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10193717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07122802734375 × 2 - 1) × π
    0.8575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69405375864716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10193717} λ = -2.10193717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69405375864716))-π/2
    2×atan(14.7915157853316)-π/2
    2×1.5032927226558-π/2
    3.0065854453116-1.57079632675     		φ = 1.43578912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10193717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.432129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43578912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.264657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2711 KachelY 1167 -2.10193717 1.43578912 -120.432129 82.264657
    Oben rechts KachelX + 1 2712 KachelY 1167 -2.10155368 1.43578912 -120.410156 82.264657
    Unten links KachelX 2711 KachelY + 1 1168 -2.10193717 1.43573749 -120.432129 82.261699
    Unten rechts KachelX + 1 2712 KachelY + 1 1168 -2.10155368 1.43573749 -120.410156 82.261699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43578912-1.43573749) × R
    5.16299999999692e-05 × 6371000     		dl = 328.934729999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43578912-1.43573749) × R
    5.16299999999692e-05 × 6371000     		dr = 328.934729999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10193717--2.10155368) × cos(1.43578912) × R
    0.000383489999999931 × 0.13459745222651 × 6371000     		do = 328.850485976068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10193717--2.10155368) × cos(1.43573749) × R
    0.000383489999999931 × 0.134648612232741 × 6371000     		du = 328.975480859949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43578912)-sin(1.43573749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13459745222651-0.134648612232741)×R²
    abs(-2.10155368--2.10193717)×5.11600062314266e-05×R²
    0.000383489999999931×5.11600062314266e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.11600062314266e-05×40589641000000     		ar = 108190.903417148m²