Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27109 / 7437
↖ ↑ ↗
← N 79.923432°
W 31.085815°		 ← 106.87 m → N 79.923432°
W 31.080322°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 79.922470°
W 31.085815°		 ← 106.88 m →
11 425 m²		 N 79.922470°
W 31.080322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413658142089844 y=0.113487243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413658142089844 × 216)
    floor (0.413658142089844 × 65536)
    floor (27109.5)     		tx = 27109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113487243652344 × 216)
    floor (0.113487243652344 × 65536)
    floor (7437.5)     		ty = 7437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27109 / 7437 ti = "16/27109/7437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27109/7437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27109 ÷ 216
    27109 ÷ 65536     		x = 0.413650512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7437 ÷ 216
    7437 ÷ 65536     		y = 0.113479614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413650512695312 × 2 - 1) × π
    -0.172698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54254983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113479614257812 × 2 - 1) × π
    0.773040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42857920855128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54254983} λ = -0.54254983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42857920855128))-π/2
    2×atan(11.3427549368417)-π/2
    2×1.48286167819635-π/2
    2.9657233563927-1.57079632675     		φ = 1.39492703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54254983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.085815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39492703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.923432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27109 KachelY 7437 -0.54254983 1.39492703 -31.085815 79.923432
    Oben rechts KachelX + 1 27110 KachelY 7437 -0.54245396 1.39492703 -31.080322 79.923432
    Unten links KachelX 27109 KachelY + 1 7438 -0.54254983 1.39491025 -31.085815 79.922470
    Unten rechts KachelX + 1 27110 KachelY + 1 7438 -0.54245396 1.39491025 -31.080322 79.922470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39492703-1.39491025) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dl = 106.905380001023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39492703-1.39491025) × R
    1.67800000001606e-05 × 6371000     		dr = 106.905380001023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54254983--0.54245396) × cos(1.39492703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174964091325157 × 6371000     		do = 106.865927170567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54254983--0.54245396) × cos(1.39491025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174980612465923 × 6371000     		du = 106.876018081293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39492703)-sin(1.39491025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174964091325157-0.174980612465923)×R²
    abs(-0.54245396--0.54254983)×1.65211407664456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65211407664456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65211407664456e-05×40589641000000     		ar = 11425.0819400528m²