Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27109 / 10616
↖ ↑ ↗
← N 53.383329°
E117.828369°		 ← 728.66 m → N 53.383329°
E117.839355°		 →
↑
728.71 m
↓
↑
728.71 m
↓
N 53.376775°
E117.828369°		 ← 728.77 m →
531 024 m²		 N 53.376775°
E117.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827316284179688 y=0.323989868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827316284179688 × 215)
    floor (0.827316284179688 × 32768)
    floor (27109.5)     		tx = 27109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323989868164062 × 215)
    floor (0.323989868164062 × 32768)
    floor (10616.5)     		ty = 10616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27109 / 10616 ti = "15/27109/10616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27109/10616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27109 ÷ 215
    27109 ÷ 32768     		x = 0.827301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10616 ÷ 215
    10616 ÷ 32768     		y = 0.323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827301025390625 × 2 - 1) × π
    0.65460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05649299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323974609375 × 2 - 1) × π
    0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05649299} λ = 2.05649299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10600014803394))-π/2
    2×atan(3.02224565078582)-π/2
    2×1.25125558623173-π/2
    2.50251117246345-1.57079632675     		φ = 0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05649299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.828369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27109 KachelY 10616 2.05649299 0.93171485 117.828369 53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 27110 KachelY 10616 2.05668474 0.93171485 117.839355 53.383329
    Unten links KachelX 27109 KachelY + 1 10617 2.05649299 0.93160047 117.828369 53.376775
    Unten rechts KachelX + 1 27110 KachelY + 1 10617 2.05668474 0.93160047 117.839355 53.376775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93171485-0.93160047) × R
    0.00011437999999997 × 6371000     		dl = 728.714979999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93171485-0.93160047) × R
    0.00011437999999997 × 6371000     		dr = 728.714979999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05649299-2.05668474) × cos(0.93171485) × R
    0.000191749999999935 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 728.657048599619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05649299-2.05668474) × cos(0.93160047) × R
    0.000191749999999935 × 0.596550248491262 × 6371000     		du = 728.769198153933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93171485)-sin(0.93160047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.596550248491262)×R²
    abs(2.05668474-2.05649299)×9.18025139694523e-05×R²
    0.000191749999999935×9.18025139694523e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.18025139694523e-05×40589641000000     		ar = 531024.169705878m²