Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27109 / 10580
↖ ↑ ↗
← N 53.618579°
E117.828369°		 ← 724.62 m → N 53.618579°
E117.839355°		 →
↑
724.70 m
↓
↑
724.70 m
↓
N 53.612062°
E117.828369°		 ← 724.74 m →
525 177 m²		 N 53.612062°
E117.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827316284179688 y=0.322891235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827316284179688 × 215)
    floor (0.827316284179688 × 32768)
    floor (27109.5)     		tx = 27109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322891235351562 × 215)
    floor (0.322891235351562 × 32768)
    floor (10580.5)     		ty = 10580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27109 / 10580 ti = "15/27109/10580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27109/10580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27109 ÷ 215
    27109 ÷ 32768     		x = 0.827301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10580 ÷ 215
    10580 ÷ 32768     		y = 0.3228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827301025390625 × 2 - 1) × π
    0.65460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05649299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3228759765625 × 2 - 1) × π
    0.354248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11290306157922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05649299} λ = 2.05649299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11290306157922))-π/2
    2×atan(3.04318012252247)-π/2
    2×1.25330853846767-π/2
    2.50661707693534-1.57079632675     		φ = 0.93582075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05649299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.828369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93582075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.618579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27109 KachelY 10580 2.05649299 0.93582075 117.828369 53.618579
    Oben rechts KachelX + 1 27110 KachelY 10580 2.05668474 0.93582075 117.839355 53.618579
    Unten links KachelX 27109 KachelY + 1 10581 2.05649299 0.93570700 117.828369 53.612062
    Unten rechts KachelX + 1 27110 KachelY + 1 10581 2.05668474 0.93570700 117.839355 53.612062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93582075-0.93570700) × R
    0.000113750000000024 × 6371000     		dl = 724.70125000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93582075-0.93570700) × R
    0.000113750000000024 × 6371000     		dr = 724.70125000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05649299-2.05668474) × cos(0.93582075) × R
    0.000191749999999935 × 0.593157851747736 × 6371000     		do = 724.62491314047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05649299-2.05668474) × cos(0.93570700) × R
    0.000191749999999935 × 0.593249426463462 × 6371000     		du = 724.736784407508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93582075)-sin(0.93570700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593157851747736-0.593249426463462)×R²
    abs(2.05668474-2.05649299)×9.15747157258506e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15747157258506e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15747157258506e-05×40589641000000     		ar = 525177.117524411m²