Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27108 / 7436
↖ ↑ ↗
← N 79.924392°
W 31.091308°		 ← 106.86 m → N 79.924392°
W 31.085815°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 79.923432°
W 31.091308°		 ← 106.87 m →
11 417 m²		 N 79.923432°
W 31.085815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413642883300781 y=0.113471984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413642883300781 × 216)
    floor (0.413642883300781 × 65536)
    floor (27108.5)     		tx = 27108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113471984863281 × 216)
    floor (0.113471984863281 × 65536)
    floor (7436.5)     		ty = 7436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27108 / 7436 ti = "16/27108/7436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27108/7436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27108 ÷ 216
    27108 ÷ 65536     		x = 0.41363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7436 ÷ 216
    7436 ÷ 65536     		y = 0.11346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1727294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54264570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11346435546875 × 2 - 1) × π
    0.7730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42867508235052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54264570} λ = -0.54264570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42867508235052))-π/2
    2×atan(11.3438424619831)-π/2
    2×1.48287006503661-π/2
    2.96574013007321-1.57079632675     		φ = 1.39494380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54264570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.091308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39494380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.924392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27108 KachelY 7436 -0.54264570 1.39494380 -31.091308 79.924392
    Oben rechts KachelX + 1 27109 KachelY 7436 -0.54254983 1.39494380 -31.085815 79.924392
    Unten links KachelX 27108 KachelY + 1 7437 -0.54264570 1.39492703 -31.091308 79.923432
    Unten rechts KachelX + 1 27109 KachelY + 1 7437 -0.54254983 1.39492703 -31.085815 79.923432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39494380-1.39492703) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39494380-1.39492703) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54264570--0.54254983) × cos(1.39494380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174947579980904 × 6371000     		do = 106.855842243431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54264570--0.54254983) × cos(1.39492703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174964091325157 × 6371000     		du = 106.865927170567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39494380)-sin(1.39492703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174947579980904-0.174964091325157)×R²
    abs(-0.54254983--0.54264570)×1.65113442531228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65113442531228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65113442531228e-05×40589641000000     		ar = 11417.1953802333m²