Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27108 / 10576
↖ ↑ ↗
← N 53.644638°
E117.817383°		 ← 724.14 m → N 53.644638°
E117.828369°		 →
↑
724.26 m
↓
↑
724.26 m
↓
N 53.638125°
E117.817383°		 ← 724.25 m →
524 503 m²		 N 53.638125°
E117.828369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827285766601562 y=0.322769165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827285766601562 × 215)
    floor (0.827285766601562 × 32768)
    floor (27108.5)     		tx = 27108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322769165039062 × 215)
    floor (0.322769165039062 × 32768)
    floor (10576.5)     		ty = 10576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27108 / 10576 ti = "15/27108/10576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27108/10576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27108 ÷ 215
    27108 ÷ 32768     		x = 0.8272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10576 ÷ 215
    10576 ÷ 32768     		y = 0.32275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8272705078125 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05630125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32275390625 × 2 - 1) × π
    0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05630125} λ = 2.05630125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11367005197314))-π/2
    2×atan(3.04551510778458)-π/2
    2×1.25353594142983-π/2
    2.50707188285966-1.57079632675     		φ = 0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05630125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27108 KachelY 10576 2.05630125 0.93627556 117.817383 53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 27109 KachelY 10576 2.05649299 0.93627556 117.828369 53.644638
    Unten links KachelX 27108 KachelY + 1 10577 2.05630125 0.93616188 117.817383 53.638125
    Unten rechts KachelX + 1 27109 KachelY + 1 10577 2.05649299 0.93616188 117.828369 53.638125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93627556-0.93616188) × R
    0.000113680000000005 × 6371000     		dl = 724.255280000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93627556-0.93616188) × R
    0.000113680000000005 × 6371000     		dr = 724.255280000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05630125-2.05649299) × cos(0.93627556) × R
    0.000191739999999996 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 724.139754504998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05630125-2.05649299) × cos(0.93616188) × R
    0.000191739999999996 × 0.592883178190482 × 6371000     		du = 724.251588554938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93627556)-sin(0.93616188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.592883178190482)×R²
    abs(2.05649299-2.05630125)×9.15490252365592e-05×R²
    0.000191739999999996×9.15490252365592e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.15490252365592e-05×40589641000000     		ar = 524502.539424113m²