Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27107 / 7391
↖ ↑ ↗
← N 79.967546°
W 31.096802°		 ← 106.41 m → N 79.967546°
W 31.091308°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 79.966590°
W 31.096802°		 ← 106.42 m →
11 323 m²		 N 79.966590°
W 31.091308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413627624511719 y=0.112785339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413627624511719 × 216)
    floor (0.413627624511719 × 65536)
    floor (27107.5)     		tx = 27107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112785339355469 × 216)
    floor (0.112785339355469 × 65536)
    floor (7391.5)     		ty = 7391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27107 / 7391 ti = "16/27107/7391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27107/7391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27107 ÷ 216
    27107 ÷ 65536     		x = 0.413619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7391 ÷ 216
    7391 ÷ 65536     		y = 0.112777709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413619995117188 × 2 - 1) × π
    -0.172760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54274158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112777709960938 × 2 - 1) × π
    0.774444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43298940331633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54274158} λ = -0.54274158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43298940331633))-π/2
    2×atan(11.3928891648819)-π/2
    2×1.48324665459815-π/2
    2.96649330919629-1.57079632675     		φ = 1.39569698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54274158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.096802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39569698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.967546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27107 KachelY 7391 -0.54274158 1.39569698 -31.096802 79.967546
    Oben rechts KachelX + 1 27108 KachelY 7391 -0.54264570 1.39569698 -31.091308 79.967546
    Unten links KachelX 27107 KachelY + 1 7392 -0.54274158 1.39568028 -31.096802 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 27108 KachelY + 1 7392 -0.54264570 1.39568028 -31.091308 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39569698-1.39568028) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39569698-1.39568028) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54274158--0.54264570) × cos(1.39569698) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17420596615972 × 6371000     		do = 106.413972253425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54274158--0.54264570) × cos(1.39568028) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 106.424017473868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39569698)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17420596615972-0.174222410779684)×R²
    abs(-0.54264570--0.54274158)×1.64446199643065e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.64446199643065e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.64446199643065e-05×40589641000000     		ar = 11322.5234519098m²