Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27107 / 25040
↖ ↑ ↗
← S 68.463800°
E117.806397°		 ← 448.45 m → S 68.463800°
E117.817383°		 →
↑
448.39 m
↓
↑
448.39 m
↓
S 68.467832°
E117.806397°		 ← 448.37 m →
201 063 m²		 S 68.467832°
E117.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827255249023438 y=0.764175415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827255249023438 × 215)
    floor (0.827255249023438 × 32768)
    floor (27107.5)     		tx = 27107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764175415039062 × 215)
    floor (0.764175415039062 × 32768)
    floor (25040.5)     		ty = 25040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27107 / 25040 ti = "15/27107/25040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27107/25040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27107 ÷ 215
    27107 ÷ 32768     		x = 0.827239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25040 ÷ 215
    25040 ÷ 32768     		y = 0.76416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827239990234375 × 2 - 1) × π
    0.65447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05610950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65976721244482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05610950} λ = 2.05610950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65976721244482))-π/2
    2×atan(0.190183247242062)-π/2
    2×0.187938803074293-π/2
    0.375877606148586-1.57079632675     		φ = -1.19491872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05610950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.806397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19491872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.463800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27107 KachelY 25040 2.05610950 -1.19491872 117.806397 -68.463800
    Oben rechts KachelX + 1 27108 KachelY 25040 2.05630125 -1.19491872 117.817383 -68.463800
    Unten links KachelX 27107 KachelY + 1 25041 2.05610950 -1.19498910 117.806397 -68.467832
    Unten rechts KachelX + 1 27108 KachelY + 1 25041 2.05630125 -1.19498910 117.817383 -68.467832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19491872--1.19498910) × R
    7.03799999999255e-05 × 6371000     		dl = 448.390979999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19491872--1.19498910) × R
    7.03799999999255e-05 × 6371000     		dr = 448.390979999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05610950-2.05630125) × cos(-1.19491872) × R
    0.000191750000000379 × 0.367089007742529 × 6371000     		do = 448.450340102714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05610950-2.05630125) × cos(-1.19498910) × R
    0.000191750000000379 × 0.367023540355388 × 6371000     		du = 448.370362572987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19491872)-sin(-1.19498910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367089007742529-0.367023540355388)×R²
    abs(2.05630125-2.05610950)×6.54673871418043e-05×R²
    0.000191750000000379×6.54673871418043e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.54673871418043e-05×40589641000000     		ar = 201063.156960968m²