Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27106 / 7393
↖ ↑ ↗
← N 79.965633°
W 31.102295°		 ← 106.42 m → N 79.965633°
W 31.096802°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 79.964675°
W 31.102295°		 ← 106.43 m →
11 330 m²		 N 79.964675°
W 31.096802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413612365722656 y=0.112815856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413612365722656 × 216)
    floor (0.413612365722656 × 65536)
    floor (27106.5)     		tx = 27106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112815856933594 × 216)
    floor (0.112815856933594 × 65536)
    floor (7393.5)     		ty = 7393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27106 / 7393 ti = "16/27106/7393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27106/7393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27106 ÷ 216
    27106 ÷ 65536     		x = 0.413604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7393 ÷ 216
    7393 ÷ 65536     		y = 0.112808227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.17279052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54283745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112808227539062 × 2 - 1) × π
    0.774383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43279765571785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54283745} λ = -0.54283745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43279765571785))-π/2
    2×atan(11.3907048151734)-π/2
    2×1.48322995123367-π/2
    2.96645990246734-1.57079632675     		φ = 1.39566358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54283745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.102295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39566358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.965633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27106 KachelY 7393 -0.54283745 1.39566358 -31.102295 79.965633
    Oben rechts KachelX + 1 27107 KachelY 7393 -0.54274158 1.39566358 -31.096802 79.965633
    Unten links KachelX 27106 KachelY + 1 7394 -0.54283745 1.39564687 -31.102295 79.964675
    Unten rechts KachelX + 1 27107 KachelY + 1 7394 -0.54274158 1.39564687 -31.096802 79.964675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39566358-1.39564687) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dl = 106.459409999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39566358-1.39564687) × R
    1.67099999999198e-05 × 6371000     		dr = 106.459409999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54283745--0.54274158) × cos(1.39566358) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.17423885535106 × 6371000     		do = 106.422961907347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54283745--0.54274158) × cos(1.39564687) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.174255309720847 × 6371000     		du = 106.433012035176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39566358)-sin(1.39564687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17423885535106-0.174255309720847)×R²
    abs(-0.54274158--0.54283745)×1.64543697869501e-05×R²
    9.58700000001089e-05×1.64543697869501e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×1.64543697869501e-05×40589641000000     		ar = 11330.2607006086m²